(2010-1) A inclinação da tangente à curva definida pela equação y^{3}+y^{2}-5 y-x^{2}=-4 no ponto (2,0) é:
a) -2 / 5
b) 2 / 5
2) -4 / 5
d) 4 / 5
e) 0

Passo 1

Estamos lidando com uma curva definida implicitamente por
y^{3} + y^{2} - 5y - x^{2} = -4
e queremos a inclinação da reta tangente em (2,0). Para isso, vamos usar derivação implícita, pois y é função de x indeterminada.

Passo 2

Derivando ambos os lados da equação em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3} + y^{2} - 5y - x^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}(-4).
No lado esquerdo aparece y como função de x, então
3y^{2}\,\frac{dy}{dx} \;+\; 2y\,\frac{dy}{dx} \;-\; 5\,\frac{dy}{dx} \;-\; 2x = 0.

Passo 3

Agrupando os termos em \frac{dy}{dx}, obtemos
\bigl(3y^{2} + 2y - 5\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y^{2} + 2y - 5}.

Passo 4

Agora substituímos x=2 e y=0:
o numerador fica 2\cdot 2 = 4 e o denominador fica
3\cdot 0^{2} + 2\cdot 0 - 5 = -5.
Logo
\frac{dy}{dx}\Bigl|_{(2,0)} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}.

Resposta

-\tfrac{4}{5}

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