Qual é a Transformada de Laplace de f(t)=3+2 e^{-t} ?

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=3 + 2e^{-t}.
O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e a propriedade da linearidade. Vamos usar que, para uma função g(t),
\mathcal{L}\{g(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
e que
\mathcal{L}\{a\,g_1(t)+b\,g_2(t)\}=a\,\mathcal{L}\{g_1(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g_2(t)\}.

Passo 2

Separamos
\mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{3\} + \mathcal{L}\{2e^{-t}\}.

Passo 3

Para \mathcal{L}\{3\} usamos a definição:
\mathcal{L}\{3\} = \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,3\,dt = 3\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt =3\left[\frac{-1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} =\frac{3}{s},
válido para \Re(s)>0.

Passo 4

Para \mathcal{L}\{2e^{-t}\} observamos que é um exponencial deslocado em s\mapsto s+1:
\mathcal{L}\{2e^{-t}\} =2\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{-t}\,dt =2\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt =2\left[\frac{-1}{s+1}e^{-(s+1)t}\right]_{0}^{\infty} =\frac{2}{s+1},
válido para \Re(s+1)>0, isto é, \Re(s)>-1.

Resposta

\mathcal{L}\{3+2e^{-t}\} =\frac{3}{s}+\frac{2}{s+1}.

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