Considere a função f, de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}, definida por f(x, y)=x^{2}+y^{2}. Seja \boldsymbol{A} o conjunto dos pontos do plano definidos pela reta de equação 2 x+y=4.
Sobre a imagem de \boldsymbol{A} por f, podemos afirmar que se trata:
A) de um conjunto unitário
B) de um intervalo fechado do tipo [a ; b], onde a e b são reais, com a<b
C) de um intervalo do tipo [ a ;+\infty ), onde a é um real
D) do próprio conjunto dos números reais
E) da união de dois intervalos do tipo ( -\infty ; a ] e [b ;+\infty ), onde a e b são reais com a<b

Passo 1

O enunciado define a função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x^2+y^2 e o conjunto \boldsymbol{A} formado pelos pontos que satisfazem a reta de equação 2x+y=4. Precisamos determinar a imagem f(\boldsymbol{A}), ou seja, os valores de x^2+y^2 quando (x,y) varia sobre essa reta.

Passo 2

Para reduzir o problema a uma variável, parametrizamos a reta. Seja t\in\mathbb{R} e tomemos
x = t, \quad y = 4 - 2t.
Então a restrição 2x+y=4 fica satisfeita automaticamente, e definimos a função de uma variável
g(t) = f\bigl(t,\,4-2t\bigr) = t^2 + (4-2t)^2.

Passo 3

Expandindo g(t), obtemos
g(t) = t^2 + 16 - 16t + 4t^2 = 5t^2 - 16t + 16.
Trata-se de uma parábola com coeficiente de t^2 positivo 5>0, logo é convexa e atinge um valor mínimo.

Passo 4

O vértice da parábola ocorre em
t_v = -\frac{-16}{2\cdot5} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}.
Substituindo em g,
g\bigl(\tfrac{8}{5}\bigr) = 5\bigl(\tfrac{8}{5}\bigr)^2 - 16\bigl(\tfrac{8}{5}\bigr) + 16 = \frac{16}{5}.

Passo 5

Como a parábola abre para cima, o valor de g(t) varia de \tfrac{16}{5} até +\infty. Portanto
f(\boldsymbol{A}) = \bigl[\tfrac{16}{5};+\infty\bigr).

Resposta

C

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