Em 2010, o preço médio de um bem era 20 % superior ao de 2009, 20 % inferior ao de 2008 e 50 % superior ao de 20111. Reduzir os dados a preços relativos, adotando-se como base os anos:
De 2008 a 2009.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem informações sobre os preços de um bem em quatro anos: 2008, 2009, 2010 e 2011. O enunciado diz que, em 2010, o preço desse bem era:
  • 20% mais caro que em 2009
  • 20% mais barato que em 2008
  • 50% mais caro que em 2011
A matéria que vamos usar aqui envolve porcentagens e comparação de valores ao longo dos anos. Vamos precisar usar percentuais para relacionar os preços de cada ano com os outros, e depois ajustar tudo para termos uma base comum, que são os anos 2008 e 2009.

Passo 2

Vamos começar definindo os preços de cada ano com uma letra para facilitar:
  • $ P_{2008} $ é o preço em 2008
  • $ P_{2009} $ é o preço em 2009
  • $ P_{2010} $ é o preço em 2010
  • $ P_{2011} $ é o preço em 2011

Passo 3

Agora, vamos traduzir as informações do enunciado em equações usando essas variáveis.
  1. Em 2010, o preço era 20% superior ao de 2009: P2010 = P2009 times 1,20
  2. Em 2010, o preço era 20% inferior ao de 2008: P2010 = P2008 times 0,80
  3. Em 2010, o preço era 50% superior ao de 2011: P2010 = P2011 times 1,50

Passo 4

Vamos igualar as duas primeiras equações para relacionar $ P_{2008} $ e $ P_{2009} $.
P2008
Para encontrar a relação entre $ P_{2008} $ e $ P_{2009} $, vamos dividir ambos os lados por 0,80:
P2009
P2009 times 1,20 = P2008 times 0,80
P2008
Isso significa que o preço em 2008 era 1,5 vezes o preço em 2009.

Passo 5

Vamos agora usar a terceira equação para relacionar $ P_{2011} $ com $ P_{2010} $.
P2011
Podemos reescrever isso como:
P2010
Mas sabemos que $ P_{2010} = 1,20 \times P_{2009} $, então:
P2010 = P2011 times 1,50
P2011 = P20101,50
Então, o preço em 2011 era 0,80 vezes o preço em 2009.

Passo 6

Agora, vamos organizar todos os preços em relação a 2008 e 2009:
  • $ P_{2008} = 1,5 \times P_{2009} $
  • $ P_{2009} = P_{2009} $ (base)
  • $ P_{2010} = 1,20 \times P_{2009} $
  • $ P_{2011} = 0,80 \times P_{2009} $

Resposta

Os preços relativos, tomando como base os anos 2008 e 2009, são:
P2008 = 1,5 times P2009 P2009 = P2009 P2010 = 1,20 times P2009 P2011 = 0,80 times P2009

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