(2013-2) A derivada de f(x)^{\circ}=\operatorname{arctg}(g(g(x))) em x=-1, sabendo que g(-1)=-1 \cdot \mathrm{e} g^{\prime}(-1)=4, é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8

Passo 1

No enunciado temos a função composta \,f^\circ(x)=\operatorname{arctg}\bigl(g(g(x))\bigr) e precisamos calcular a derivada em x=-1. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada a funções compostas.

Passo 2

Para derivar \operatorname{arctg}(u) em relação a x, usamos
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr] =\frac{u'}{1+u^{2}}.

Passo 3

Aqui u(x)=g(g(x)). Aplicando a regra da cadeia mais uma vez,
u'(x)=g'\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot\,g'(x).

Passo 4

Agora avaliamos em x=-1. Sabemos que
g(-1)=-1, \quad g'(-1)=4.
Logo
g\bigl(g(-1)\bigr)=g(-1)=-1,
g'\bigl(g(-1)\bigr)=g'(-1)=4,
g'(-1)=4.

Passo 5

Substituindo em
f'^\circ(x) =\frac{g'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)}{1+\bigl[g(g(x))\bigr]^{2}},
em x=-1 temos
\text{numerador}=4\cdot4=16, \quad \text{denominador}=1+(-1)^{2}=2,
f'^\circ(-1)=\frac{16}{2}=8.

Resposta

e) 8

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