Questão 1: Verifique se a descontinuidade na origem (0,0) pode ser removida ou não. Caso afirmativo, ache o valor que deve ser dado a imagem de f em (0,0).
f(x, y)=\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2} y}{2 x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = \frac{x^{2} + \operatorname{sen}^{2}y}{2x^{2} + y^{2}}
para (x,y)\neq(0,0) e pede para verificar se a descontinuidade em (0,0) é removível, ou seja, se existe \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
e, em caso afirmativo, qual valor atribuir a f(0,0) para torná-la contínua.

Passo 2

Aproximando por y=0 (eixo x):
f(x,0) = \frac{x^{2} + \operatorname{sen}^{2}0}{2x^{2} + 0^{2}} = \frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac12.
Logo \displaystyle \lim_{x\to0} f(x,0) = \tfrac12.

Passo 3

Aproximando por x=0 (eixo y):
f(0,y) = \frac{0^{2} + \operatorname{sen}^{2}y}{2\cdot0^{2} + y^{2}} = \frac{\operatorname{sen}^{2}y}{y^{2}} = \Bigl(\frac{\operatorname{sen}y}{y}\Bigr)^{2}.
Como \displaystyle \lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen}y}{y}=1, temos \displaystyle \lim_{y\to0} f(0,y) = 1.

Passo 4

Os limites ao longo de duas direções diferentes deram valores distintos \tfrac12 e 1. Isso significa que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe (ou seja, não é único), logo a descontinuidade em (0,0) não pode ser removida.

Resposta

A descontinuidade em (0,0) não é removível; não existe valor único de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).

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