Questão 1: Verifique se a descontinuidade na origem (0,0) pode ser removida ou não. Caso afirmativo, ache o valor que deve ser dado a imagem de f em (0,0).
f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}
definida em todos os (x,y)\neq(0,0), e pede para verificar se a descontinuidade em (0,0) é removível. Isso envolve calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e, se existir e for finito, definir f(0,0) igual a esse valor.

Passo 2

Para simplificar f(x,y), racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1. Assim,
f(x,y) =\frac{(x^{2}+y^{2})\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1\bigr)} {\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1\bigr)} =\frac{(x^{2}+y^{2})\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+1)-1}.

Passo 3

No denominador fica (x^{2}+y^{2}+1)-1 = x^{2}+y^{2}, então para (x,y)\neq(0,0) obtemos
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite quando (x,y)\to(0,0). Como x^{2}+y^{2}\to0, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1\bigr) = \sqrt{0+1}+1 = 2.

Passo 5

O limite existe e vale 2, logo a descontinuidade em (0,0) é removível. Basta definir
f(0,0)=2
para tornar f contínua em toda parte.

Resposta

A descontinuidade é removível e deve-se atribuir f(0,0)=2.

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