(2013-2) Determine os valores de x para os quais 1<|2 x+5| <= 1x+2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
1 < lvert 2x + 5rvert ;<=; 1x+2
O conteúdo é de inequações envolvendo valor absoluto e expressão racional. Vamos precisar encontrar o domínio em que a parte direita está bem definida e positiva, depois estudar o valor absoluto e resolver a inequação resultante.

Passo 2

Determinar o domínio: a expressão tfrac1x+2 exige x+2neq0. Além disso, como lvert2x+5rvert>=0, para existir solução precisamos de tfrac1x+2>=0. Logo
x+2>0 Longrightarrow x>-2

Passo 3

Para x>-2 temos 2x+5 > 2(-2)+5=1>0. Portanto lvert2x+5rvert=2x+5 e a parte esquerda 1<lvert2x+5rvert vira
1<2x+5 Long<=ftrightarrow x>-2
Mas isso já coincide com o domínio x>-2, então essa desigualdade à esquerda está sempre satisfeita em nosso domínio.

Passo 4

Restou resolver
2x+5 ;<=;1x+2,
com x+2>0. Multiplicando ambos os lados por x+2 (positivo), obtemos
(2x+5)(x+2)<=1 Longrightarrow 2x^2+9x+10<=1 Longrightarrow 2x^2+9x+9<=0

Passo 5

A equação quadrática associada é
2x^2+9x+9=0,
cuja discriminante é De<a=9^2-4cdot2cdot9=81-72=9. As raízes são
x=-9pm34 ;Longrightarrow; x=-3 e x=-tfrac32
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a inequação 2x^2+9x+9<=0 vale para
-3<= x<= -tfrac32
Fazendo a interseção com o domínio x>-2, obtemos
-2 < x <= -tfrac32

Resposta

boxed,xinl(-2,,-tfrac32r],

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