Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
A função dada é f(x,y)=y e^{xy}. O conteúdo é derivadas parciais de primeira ordem, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções exponenciais.
Passo 2
Para calcular ∂f/∂x, tratamos y como constante. Aplicando a regra do produto em y·e^{xy}, temos que a derivada de y é zero e a derivada de e^{xy} em relação a x é y·e^{xy} (regra da cadeia), logo ∂f/∂x = y·(y e^{xy}).
Passo 3
Para calcular ∂f/∂y, aplicamos a regra do produto em y·e^{xy}. A derivada de y é 1, então vem 1·e^{xy}. Depois somamos y·(derivada de e^{xy} em relação a y), que pela regra da cadeia é x·e^{xy}. Assim ∂f/∂y = e^{xy} + y·(x e^{xy}).
Passo 4
Agora simplificamos os resultados obtidos das derivadas.
Passo 5
O resultado final é expresso em forma compacta. Verifique que ambas envolvem o fator e^{xy}.