Considere o polinômio f(x)=x^n+a1 x^n-1+cdots+an, onde n>0 e a1, ldots, an são inteiros. Mostre que se f(x)=0 tem raiz racional, então esta raiz é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
f(x)=x^n+a1x^n-1+cdots+an,
onde n>0 e a1,dots,an são inteiros, e pede para mostrar que se f(x)=0 tem raiz racional então essa raiz é inteira. Vamos usar o Teste da Raiz Racional, que se baseia em propriedades de divisibilidade ao escrever a raiz como tfracpq em termos primos entre si.

Passo 2

Suponha que exista uma raiz racional
r = pq,
com gcd(p,q)=1 e q>0. Então f(r)=0.

Passo 3

Substituindo x=tfracpq em f(x)=0 e multiplicando tudo por q^n, obtemos
p^n + a1p^n-1q + a2p^n-2q^2 + cdots + an-1p,q^n-1 + anq^n ;=;0

Passo 4

Na igualdade acima, todos os termos, exceto p^n, são múltiplos de q. Logo o lado direito mostra que
p^n = -l(a1p^n-1q + cdots + anq^nr)
é múltiplo de q. Como gcd(p,q)=1, isso só pode ocorrer se q dividir 1, ou seja, q=1. Portanto
r = pq = p
é um inteiro.

Resposta

Qualquer raiz racional de f(x)=0 é, de fato, um número inteiro.

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