Considere o polinômio
, onde
e
são inteiros. Mostre que se
tem raiz racional, então esta raiz é um número inteiro.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
onde
e
são inteiros, e pede para mostrar que se
tem raiz racional então essa raiz é inteira. Vamos usar o Teste da Raiz Racional, que se baseia em propriedades de divisibilidade ao escrever a raiz como
em termos primos entre si.
Passo 2
Suponha que exista uma raiz racional
com
e
. Então
.
Passo 3
Substituindo
em
e multiplicando tudo por
, obtemos
Passo 4
Na igualdade acima, todos os termos, exceto
, são múltiplos de
. Logo o lado direito mostra que
é múltiplo de
. Como
, isso só pode ocorrer se
dividir
, ou seja,
. Portanto
é um inteiro.
Resposta
Qualquer raiz racional de
é, de fato, um número inteiro.