Encontre a derivada da função.
g(x)=e^-x cos (x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=e^-xcosl(x^2r). Para isso vamos usar duas regras de diferenciação importantes:
  1. A regra do produto, que diz que se g(x)=f(x),h(x) então
g'(x)=f'(x),h(x)+f(x),h'(x)
  1. A regra da cadeia, que usamos quando derivamos uma função composta, como cosl(x^2r).

Passo 2

Identificamos as duas funções no produto:
f(x)=e^-x, h(x)=cosl(x^2r)
Pela regra do produto,
g'(x)=f'(x),h(x)+f(x),h'(x)

Passo 3

Calculamos f'(x) e h'(x) separadamente:
  1. Para f(x)=e^-x, a derivada é
f'(x)=ddxe^-x=-e^-x
  1. Para h(x)=cosl(x^2r), usamos a regra da cadeia: se u(x)=x^2 então cos(u)'s é -sin(u),u'. Assim,
u(x)=x^2implies u'(x)=2x,
h'(x)=ddxcosl(x^2r)=-sinl(x^2r)cdot2x=-2x,sinl(x^2r)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
g'(x)=l(-e^-xr)cosl(x^2r)+e^-xl(-2x,sinl(x^2r)r)
Juntando termos semelhantes,
g'(x)=-e^-xcosl(x^2r)-2x,e^-xsinl(x^2r)
Podemos fatorar -e^-x:
g'(x)=-e^-xl[cosl(x^2r)+2x,sinl(x^2r)r]

Resposta

g'(x)=-e^-xcosl(x^2r)-2x,e^-xsinl(x^2r)
ou, fatorando,
g'(x)=-e^-xl(cosl(x^2r)+2x,sinl(x^2r)r)

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