Usando o método de integração por frações parciais, calcule:
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+3 x-2}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}+2x^{2}+3x-2}{\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)^{2}}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais para caso de quadrático irreduzível repetido, além de integrais básicas de forma \int \tfrac{x}{Q(x)}dx, \int \tfrac{1}{Q(x)}dx e \int \tfrac{1}{Q(x)^{2}}dx.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{x^{3}+2x^{2}+3x-2}{(x^{2}+2x+2)^{2}} =\frac{Ax+B}{x^{2}+2x+2}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+2x+2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+2x+2)^{2}, obtemos
x^{3}+2x^{2}+3x-2 =(Ax+B)(x^{2}+2x+2)+(Cx+D).

Passo 3

Expandindo e comparando coeficientes:
(Ax+B)(x^{2}+2x+2)=Ax^{3}+(2A+B)x^{2}+(2A+2B)x+2B,
então
x^{3}+2x^{2}+3x-2 =Ax^{3}+(2A+B)x^{2}+(2A+2B+C)x+(2B+D).
Igualando coeficientes:
A=1,\quad 2A+B=2\implies B=0,\quad 2A+2B+C=3\implies C=1,\quad 2B+D=-2\implies D=-2.
Logo
\frac{x^{3}+2x^{2}+3x-2}{(x^{2}+2x+2)^{2}} =\frac{x}{x^{2}+2x+2}+\frac{x-2}{(x^{2}+2x+2)^{2}}.

Passo 4

Separamos a integral em duas:
I=\int \frac{x}{Q}\,dx+\int \frac{x-2}{Q^{2}}\,dx,
onde Q=x^{2}+2x+2.

Passo 5

Para \displaystyle I_{1}=\int \frac{x}{Q}\,dx,
escrevemos x=(x+1)-1 e usamos Q'=2x+2:
I_{1} =\int\frac{x+1}{Q}\,dx-\int\frac{1}{Q}\,dx =\frac12\int\frac{Q'}{Q}\,dx-\int\frac{1}{Q}\,dx =\frac12\ln Q-\int\frac{1}{(x+1)^{2}+1}\,dx.
Como \displaystyle\int\frac{1}{(x+1)^{2}+1}\,dx=\arctan(x+1),
vem
I_{1}=\frac12\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)-\arctan(x+1).

Passo 6

Para \displaystyle I_{2}=\int \frac{x-2}{Q^{2}}\,dx,
fazemos u=x+1\implies Q=u^{2}+1 e x-2=(u-1)-2=u-3, dx=du:
I_{2} =\int\frac{u-3}{(u^{2}+1)^{2}}\,du =\int\frac{u}{(u^{2}+1)^{2}}\,du -3\int\frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}\,du.
  1. Com w=u^{2}+1, dw=2u\,du segue \displaystyle\int\frac{u}{(u^{2}+1)^{2}}du =\frac12\int w^{-2}dw=-\frac1{2w} =-\frac1{2(u^{2}+1)}.
  2. O resultado padrão \displaystyle\int\frac{du}{(u^{2}+1)^{2}} =\frac{u}{2(u^{2}+1)}+\frac12\arctan(u).
    Assim
I_{2} =-\frac1{2(u^{2}+1)} -3\Bigl(\frac{u}{2(u^{2}+1)}+\frac12\arctan(u)\Bigr) =-\frac{3u+1}{2(u^{2}+1)}-\frac{3}{2}\arctan(u).
Voltando a u=x+1 e u^{2}+1=Q:
I_{2} =-\frac{3(x+1)+1}{2Q}-\frac{3}{2}\arctan(x+1) =-\frac{3x+4}{2(x^{2}+2x+2)}-\frac{3}{2}\arctan(x+1).

Passo 7

Somando I_{1}+I_{2} e agrupando termos em \arctan:
I =\frac12\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr) -\arctan(x+1) -\frac{3x+4}{2(x^{2}+2x+2)} -\frac{3}{2}\arctan(x+1)+C
\;\;=\frac12\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr) -\frac{5}{2}\arctan(x+1) -\frac{3x+4}{2(x^{2}+2x+2)}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{3}+2x^{2}+3x-2}{(x^{2}+2x+2)^{2}}dx =\frac12\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr) -\frac{5}{2}\arctan(x+1) -\frac{3x+4}{2(x^{2}+2x+2)}+C. }

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