Usando o método de integração por frações parciais, calcule:
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}\,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo envolve decompor uma função racional própria em somas de termos da forma \frac{Ax+B}{x^{2}+a^{2}} e depois integrar cada parte, usando fórmulas de \ln e \arctan.

Passo 2

Verificamos que o grau do numerador 3 é menor que o grau do denominador 4, logo já está na forma própria e podemos partir diretamente para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Assumimos a decomposição
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)} = \frac{Ax + B}{x^{2}+1} + \frac{Cx + D}{x^{2}+2}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+2) e igualamos numeradores:
x^{3}+x^{2}+2x+1 = (Ax+B)(x^{2}+2) + (Cx+D)(x^{2}+1).
Expandindo,
(Ax+B)(x^{2}+2) + (Cx+D)(x^{2}+1) = Ax^{3} + Bx^{2} + 2Ax + 2B + Cx^{3} + Dx^{2} + Cx + D
= (A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + (2A+C)x + (2B+D).
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 1,\\\ B + D = 1,\\\\ 2A + C = 2,\\\\ 2B + D = 1. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema: da primeira e terceira equações vem
C = 1 - A, \quad 2A + (1-A) = 2 \;\Longrightarrow\; A = 1,\;C = 0.
Das segunda e quarta equações vem
2B + D = 1, \quad B + D = 1 \;\Longrightarrow\; B = 0,\;D = 1.
Logo a decomposição fica
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)} = \frac{x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+2}.

Passo 6

Reescrevemos a integral como soma de duas integrais simples:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx \;+\; \int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 7

Para a primeira usamos u = x^{2}+1, du = 2x\,dx:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \tfrac12 \int \frac{du}{u} = \tfrac12 \ln\bigl|u\bigr| = \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Para a segunda usamos a fórmula \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr):
\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+(\sqrt2)^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt2}\bigr).

Resposta

\int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \tfrac{1}{\sqrt2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt2}\bigr) + C.

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