(2014-2) Marque a alternativa CORRETA.
a) |x|+1<|x+1| para todo x in R.
b) raizx^2=(raizx)^2 para todo x in R.
c) raiz(1-x)^2 >= 1-x para todo x in R.
d) |x| raizx^2>x^2 para todo x in R.
e) |x|-2>|x-2| para todo x in R

Passo 1

O enunciado é de propriedades de valor absoluto e radiciação. Lembramos que, para todo xinR,
raizx^2=|x|
e que, para todo real a,
|a|>= a
Vamos verificar cada alternativa.

Passo 2

Alternativa (a): diz que
|x|+1<|x+1|forall xinR
Basta testar x=0: o lado esquerdo é |0|+1=1 e o direito é |1|=1, logo 1<1 é falso. Portanto (a) não vale para todo x.

Passo 3

Alternativa (b): afirma
raizx^2=(raizx)^2forall xinR
O membro direito (raizx)^2 só está definido em x>=0 e vale x. Já o lado esquerdo vale |x|. Logo não faz sentido para x<0 e, mesmo para x>=0, é |x|=x. Assim (b) é falsa para x<0.

Passo 4

Alternativa (d): declara
|x|raizx^2>x^2forall xinR
Como raizx^2=|x|, o lado esquerdo é |x|cdot|x|=x^2, e a desigualdade vira x^2>x^2, o que é impossível. Logo (d) é falsa.

Passo 5

Alternativa (e): diz
|x|-2>|x-2|forall xinR
Testando x=0 temos |0|-2=-2 e |0-2|=2, então -2>2 é falso. Logo (e) não vale para todo real.

Passo 6

Alternativa (c): afirma
raiz(1-x)^2>=1-xforall xinR
Mas raiz(1-x)^2=|1-x| e sabemos que |1-x|>=1-x para todo real. Portanto essa desigualdade é sempre verdadeira.

Resposta

(c)

Exercícios relacionados