Questão 1 (2,5 pontos) Sabendo que todas as somas S_{n} abaixo representam somas de Riemann. detérmine o valor do limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n} como uma integral definida. Para cada)n , o conjunto\left{x_{0}, x_{1}, ···, x_{n}}) constitu una partição de um intervalo a, b]\), com espaçamento uniforme \(\Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}\)\). e \(x_{i}^{*}\) é um ponto arbitrário no subintervalo \(\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\)\), salvo quando indicado de outra forma. (a) \(\quad S_{n}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{*} \cos \left(x_{i}^{*}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\)

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de Riemann
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}\cos\bigl(x_{i}^{*}\bigr)\,\bigl(x_{i}-x_{i-1}\bigr)
sobre uma partição uniforme de [a,b]. O conteúdo aqui é o conceito de soma de Riemann convergindo a uma integral definida.

Passo 2

Pela definição de soma de Riemann, se f for contínua em [a,b] e escolhermos quaisquer pontos x_{i}^{*}\in[x_{i-1},x_{i}], então
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\bigl(x_{i}^{*}\bigr)\,(x_{i}-x_{i-1}) =\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Passo 3

Aqui f(x)=x\cos(x). Logo, aplicando o resultado acima ao nosso S_{n}, obtemos
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\int_{a}^{b}x\cos(x)\,dx.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b}x\cos(x)\,dx

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