Questão 5 (2.5 pontos)
(a) Faça una descrigáo geométrica do domínio da função f(x, y)=\ln \left|x^{2}+y^{2}-1\right|+\frac{1}{x^{2}+y^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\ln\bigl|x^{2}+y^{2}-1\bigr| \;+\;\frac{1}{x^{2}+y^{2}-4}
e pede a descrição geométrica do domínio. Para isso precisamos lembrar que
  1. \ln|u| está definida somente se u\neq 0.
  2. \tfrac{1}{v} está definida somente se v\neq 0.

Passo 2

Aplicando a condição da primeira parte, com u = x^{2}+y^{2}-1, temos
x^{2}+y^{2}-1 \;\neq\; 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\neq 1.

Passo 3

Para a segunda parte, o denominador é v = x^{2}+y^{2}-4, logo
x^{2}+y^{2}-4 \;\neq\; 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\neq 4.

Passo 4

Concluímos que o domínio em \mathbb{R}^2 é
\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\neq 1,\;x^{2}+y^{2}\neq 4\}.

Passo 5

Geometricamente isso significa retirar do plano duas circunferências concêntricas ao eixo z:
  • a circunferência de raio 1 (onde x^{2}+y^{2}=1),
  • e a circunferência de raio 2 (onde x^{2}+y^{2}=4).
    O domínio fica então a união dos três conjuntos abertos:
\{x^{2}+y^{2}<1\}\;\cup\;\{1<x^{2}+y^{2}<4\}\;\cup\;\{x^{2}+y^{2}>4\}.

Resposta

O domínio de f é o plano \mathbb{R}^2 com as circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 removidas, i.e.,
\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\neq1,\;x^{2}+y^{2}\neq4\},
ou seja, a união dos três anéis x^{2}+y^{2}<1, 1<x^{2}+y^{2}<4 e x^{2}+y^{2}>4.

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