(2016-2 opcional) Sobre o conjunto solução S da equação |2 x|+|x-1|=1 é correto afirmar que:
a) S é vazio.
b) S é infinito.
c) S tem apenas um elemento.
d) S tem apenas dois elementos.
e) S tem mais do que dois elementos, mas é finito.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto solução S da equação
|2x| + |x-1| = 1
O tema é resolver equações com valores absolutos, que exigem analisar os sinais de cada expressão interna e dividir o eixo real em intervalos onde cada módulo “abre” sem o sinal.

Passo 2

Identificamos os pontos onde as expressões mudam de sinal: 2x=0 x=0, e x-1=0 x=1. Logo, consideramos três intervalos:
  1. x>=1
  2. 0<= x<1
  3. x<0

Passo 3

No caso x>=1 temos 2x>=0 e x-1>=0, então
|2x|+|x-1| = 2x + (x-1) = 3x - 1
A equação fica
3x - 1 = 1 Longrightarrow 3x = 2 Longrightarrow x = tfrac23
Porém tfrac23<1, não pertence ao intervalo x>=1. Logo, sem soluções aqui.

Passo 4

No caso 0<= x<1 temos 2x>=0 e x-1<0, então
|2x|+|x-1| = 2x + (-(x-1)) = 2x - x + 1 = x + 1
A equação fica
x + 1 = 1 Longrightarrow x = 0
E 0 pertence ao intervalo 0<= x<1. Logo, x=0 é solução.

Passo 5

No caso x<0 temos 2x<0 e x-1<0, então
|2x|+|x-1| = -2x + (-(x-1)) = -2x - x + 1 = -3x + 1
A equação fica
-3x + 1 = 1 Longrightarrow -3x = 0 Longrightarrow x = 0,
mas 0 não satisfaz x<0. Sem soluções aqui.

Passo 6

O único valor que funciona é x=0. Portanto S = 0, ou seja, tem exatamente um elemento.

Resposta

c) S tem apenas um elemento.

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