Sejam F(t)=3t i-j e G(t)=t i-e^-t j. Calcule a derivada de F times G em t=1.
( ) (0,0,2 e+1)
( ) (1,0, e)
( ) (0,1, 3e)
( ) (0,0, 6e+1)
( ) (0,0,0)
( ) (1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
vec F(t)=l(tfrac3t,-1,0r) e vec G(t)=(t,-e^-t,0)
e pede l(vec Ftimesvec Gr)'(1). Vamos usar a definição de produto vetorial em R^3 e depois diferenciar componente a componente.

Passo 2

Primeiro achamos vec F(t)timesvec G(t). Como ambas têm só componentes x e y, o produto fica perpendicular ao plano xy, ou seja
vec F(t)timesvec G(t) =l(0,0,, FxGy - FyGxr)
Aqui Fx=tfrac3t, Fy=-1, Gx=t e Gy=-e^-t.

Passo 3

Substituindo essas componentes no determinante, obtemos
FxGy - FyGx =3tl(-e^-tr)-(-1),t =-3e^-tt+t =t-3e^-tt
Logo
vec F(t)timesvec G(t) =l(0,0,,t-3e^-ttr)

Passo 4

Agora derivamos componente a componente. A única não trivial é a z-componente
h(t)=t-3e^-tt
Temos h'(t)=1-l(3e^-ttr)'.
Para
l(3e^-ttr)' =3l(e^-tt^-1r)' =3l(-e^-tt^-1-e^-tt^-2r) =-3e^-tt+1t^2
Portanto
h'(t) =1 - l(-3e^-ttfract+1t^2r) =1+3e^-tt+1t^2

Passo 5

Avaliaremos em t=1:
h'(1) =1+3e^-11+11^2 =1+6e
Logo
l(vec Ftimesvec Gr)'(1) =l(0,0,1+tfrac6er)

Resposta

l(0,0,tfrac6e+1r)

Exercícios relacionados