Mostre que se a fração ab é irredutível, então a fração a+ba b também é irredutível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a fração ab é irredutível — isto é, gcd(a,b)=1 — então a fração a+bab também é irredutível, ou seja,
gcd(a+b,;ab)=1
Vamos usar a definição de máximo divisor comum e um argumento com divisores primos.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um divisor d>1 comum a a+b e a ab. Então existe um primo p tal que pmid d, logo
pmid (a+b) e pmid (ab)
Da condição pmid(ab) segue que pmid a ou pmid b.
  • Se pmid a então, como também pmid(a+b), temos pmid[(a+b)-a]=b.
  • Se pmid b então, de pmid(a+b), vem pmid a.
    Em qualquer caso, p divide simultaneamente a e b, o que contradiz gcd(a,b)=1.

Passo 3

Como não pode existir primo p dividindo ao mesmo tempo a+b e ab, concluímos que não há divisor comum além de 1. Portanto
gcd(a+b,;ab)=1
e a fração a+bab é irredutível.

Resposta

Concluímos que, sob gcd(a,b)=1, a fração a+bab também é irredutível, pois gcd(a+b,ab)=1.

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