Mostre que se a fração
é irredutível, então a fração
também é irredutível.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a fração
é irredutível — isto é,
— então a fração
também é irredutível, ou seja,
Vamos usar a definição de máximo divisor comum e um argumento com divisores primos.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista um divisor
comum a
e a
. Então existe um primo
tal que
, logo
Da condição
segue que
ou
.
- Se
então, como também , temos . - Se
então, de , vem .
Em qualquer caso,divide simultaneamente e , o que contradiz .
Passo 3
Como não pode existir primo
dividindo ao mesmo tempo
e
, concluímos que não há divisor comum além de
. Portanto
e a fração
é irredutível.
Resposta
Concluímos que, sob
, a fração
também é irredutível, pois
.