Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume da região B situada acima do plano x y, abaixo da superfície x^2+y^2+z^2=2, e no interior do cilindro dado por x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região B que está acima do plano xy, abaixo da esfera
x^2+y^2+z^2=2
e dentro do cilindro
x^2+y^2=1
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cilíndricas, usando o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
o cilindro vira 0<= r<=1, o plano xy é z=0 e a esfera dá z=raiz2-r^2. Logo o volume é
V=integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^raiz2-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^raiz2-r^2r,dz =rl[zr]0^raiz2-r^2 = r,raiz2-r^2
Assim
V =integral0^2pi!integral0^1rraiz2-r^2,dr,dtheta =2piintegral0^1rraiz2-r^2,dr

Passo 4

Para calcular
integral0^1rraiz2-r^2,dr
fazemos a substituição
u=2-r^2, du=-2r,dr Longrightarrow r,dr=-du2
Quando r=0 temos u=2 e quando r=1 temos u=1. Então
integral0^1rraiz2-r^2,dr =integralu=2^1raizu;l(-tfracdu2r) =12integral1^2raizu,du

Passo 5

Sabendo que integralraizu,du=tfrac23u^3/2, obtemos
12integral1^2raizu,du =12l[23u^3/2r]1^2 =13l(2^3/2-1r) =13l(2raiz2-1r)
Multiplicando por 2pi
V=2picdot13l(2raiz2-1r) =2pi3l(2raiz2-1r)

Resposta

V=2pi3l(2raiz2-1r)

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