Seja
um inteiro positivo, mostre que:
.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros
e
com
e um inteiro positivo
, temos
O conteúdo central aqui é a fatoração da diferença de potências com auxílio da soma de uma progressão geométrica.
Passo 2
Definimos a soma
Então
Observe que
Ao subtrair termo a termo, tudo cancela, exceto
na primeira soma e
na segunda. Logo,
Passo 3
Como
é um inteiro (soma de produtos de inteiros) e satisfaz
, isso significa exatamente que
divide
.