Seja um inteiro positivo, mostre que:
.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros x e y com xneq y e um inteiro positivo n, temos
x - y mid x^n - y^n
O conteúdo central aqui é a fatoração da diferença de potências com auxílio da soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Definimos a soma
S = sumk=0^n-1 x^,n-1-k,y^k = x^n-1 + x^n-2y + cdots + xy^n-2 + y^n-1
Então
(x-y),S = xsumk=0^n-1 x^,n-1-ky^k ;-; ysumk=0^n-1 x^,n-1-ky^k = sumk=0^n-1 x^,n-ky^k ;-; sumk=0^n-1 x^,n-1-ky^,k+1
Observe que
sumk=0^n-1 x^,n-ky^k = x^n + x^n-1y + cdots + xy^n-1, sumk=0^n-1 x^,n-1-ky^,k+1 = x^n-1y + x^n-2y^2 + cdots + y^n
Ao subtrair termo a termo, tudo cancela, exceto x^n na primeira soma e -y^n na segunda. Logo,
(x-y),S = x^n - y^n

Passo 3

Como S é um inteiro (soma de produtos de inteiros) e satisfaz (x-y)S = x^n - y^n, isso significa exatamente que x-y divide x^n - y^n.

Resposta

x - y mid x^n - y^n

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