Calcule
integralD(x-2 yx+2 y)^3 d A
onde D é a região do plano limitada pelas retas x-2 y=1, x-2 y=2, x+2 y=1 e x+2 y=3.
( ) 1 / 12
( ) 5 / 7
( ) 6/5
( ) 14 / 7
( ) 5/12
( ) 9 / 5

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
integralD(x-2yx+2y)^3dA
onde D é o retângulo no plano dado pelas retas
,x-2y=1, ,x-2y=2, ,x+2y=1 e ,x+2y=3.
O conteúdo principal é usar a mudança de variáveis
u = x - 2y, v = x + 2y
para transformar a região num retângulo em (u,v) e usar o Jacobiano.

Passo 2

Fazendo
u = x - 2y, v = x + 2yLongrightarrow x = u+v2, y = v-u4,
o Jacobiano vale
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det tfrac12 & tfrac12[3pt] -tfrac14 & tfrac14 = tfrac14
Logo dA = dx,dy = tfrac14,du,dv.]

Passo 3

Na nova variável, a região D vira o retângulo
1 <= u <= 2, 1 <= v <= 3,
e o integrando fica
(x-2yx+2y)^3 = l(tfrac u vr)^3

Passo 4

A integral transforma-se em
integralDl(tfracuvr)^3dA = integral1^2!!integral1^3 l(tfracuvr)^3,14,dv,du = tfrac14 integral1^2u^3du integral1^3v^-3dv,
pois as integrais em u e v se separam.

Passo 5

Calculamos
integral1^2u^3du = l[tfracu^44r]1^2 = tfrac16-14 = tfrac154,
integral1^3v^-3dv = l[tfracv^-2-2r]1^3 = -tfrac12cdot 9 +tfrac12cdot 1 = tfrac12-tfrac118 = tfrac818 = tfrac49

Passo 6

Multiplicando tudo:
tfrac14;times;tfrac154;times;tfrac49 = 1536 = 512

Resposta

512

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