(2017-1) Sejam a, b \in \mathbb{R}\) e \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) a função definida por \[f(x)= \begin{cases}e^{b x} & \text { se } x<a \\\ x-a+1 & \text { se } x \geq a\end{cases}
O valor de a+b\] para que \(f seja derivável em \mathbb{R} é:

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} e^{b x}, & x<a,\\\ x - a + 1, & x \ge a, \end{cases}
com a,b\in\mathbb{R}, e pede o valor de a+b para que f seja derivável em \mathbb{R}.
Para que a função seja derivável em todos os pontos, precisamos verificar continuidade e igualdade das derivadas em x=a, já que nas demais partes f é suave (exponencial de um lado e reta do outro).

Passo 2

Impondo continuidade em x=a, igualamos o valor à esquerda e à direita:
\lim_{x\to a^-}f(x) = e^{b a}, \quad f(a) = a - a + 1 = 1.
Portanto
e^{b a} = 1.
Como e^{b a}=1 se e somente se b a = 0, concluímos
b\,a = 0.

Passo 3

Agora exigimos que as derivadas lateral à esquerda e à direita em x=a sejam iguais.
Para x<a,
f'(x) = b\,e^{b x},
logo
\lim_{x\to a^-}f'(x) = b\,e^{b a}.
Para x>a,
f'(x) = 1,
logo
\lim_{x\to a^+}f'(x) = 1.
A condição de derivabilidade em x=a é
b\,e^{b a} = 1.

Passo 4

Usamos e^{b a}=1 da continuidade para simplificar a condição de derivada:
b \cdot 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = 1.
Substituindo b=1 em b a = 0
1 \cdot a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.

Resposta

O valor de a+b é
a + b = 0 + 1 = 1.

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