(2017-1) Sejam
O valor de
seja derivável em
é:
Passo 1
O enunciado define a função
com
, e pede o valor de
para que
seja derivável em
.
Para que a função seja derivável em todos os pontos, precisamos verificar continuidade e igualdade das derivadas em , já que nas demais partes
é suave (exponencial de um lado e reta do outro).
Para que a função seja derivável em todos os pontos, precisamos verificar continuidade e igualdade das derivadas em
Passo 2
Impondo continuidade em
, igualamos o valor à esquerda e à direita:
Portanto
Como
se e somente se
, concluímos
Passo 3
Agora exigimos que as derivadas lateral à esquerda e à direita em
sejam iguais.
Para ,
Para
logo
Para
,
logo
A condição de derivabilidade em
é
Passo 4
Usamos
da continuidade para simplificar a condição de derivada:
Substituindo
em
dá
Resposta
O valor de
é