Classifique as sequências abaixo (limitadas, não limitadas, limitada superiormente, limitada inferiormente, crescente, decrescente). Justifique sua resposta.
\left\{1-\frac{1}{n}\right\}_{n \geq 1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_n\}_{n\ge1} definida por
a_n = 1 - \frac{1}{n}.
Precisamos verificar se ela é limitada (superiormente e/ou inferiormente) e estudar sua monotonicidade (crescente ou decrescente).

Passo 2

Para ver a limitação inferior, note que para todo n\ge1 vale
a_n = 1 - \frac{1}{n}\ge 1 - 1 = 0.
Logo, 0 é uma cota inferior. Para a limitação superior, observamos que \frac1n>0, então
a_n = 1 - \frac{1}{n}<1.
Assim, 1 é uma cota superior. Concluímos que a sequência é limitada tanto inferiormente (por 0) quanto superiormente (por 1), isto é, é uma sequência limitada.

Passo 3

Para analisar se é crescente ou decrescente, comparamos a_{n+1} e a_n:
a_{n+1}-a_n = \Bigl(1-\frac{1}{n+1}\Bigr)-\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr) = -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n} = \frac{1}{n(n+1)}.
Como \frac{1}{n(n+1)}>0 para todo n\ge1, segue que a_{n+1}>a_n. Portanto, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \{1-\tfrac1n\}_{n\ge1} é limitada (superiormente por 1 e inferiormente por 0) e é crescente.

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