Classifique as sequências abaixo (limitadas, não limitadas, limitada superiormente, limitada inferiormente, crescente, decrescente). Justifique sua resposta.
\left\{(-1)^{n}\right\}_{n \geq 0}

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a sequência \{a_n\}_{n\ge0} definida por
a_n = (-1)^n
quanto a ser limitada, limitada superiormente, limitada inferiormente, crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar as definições de sequência limitada e de sequência monótona.

Passo 2

Para entender o comportamento de \{a_n\}, vamos escrever seus primeiros termos:
a_0 = (-1)^0 = 1,\quad a_1 = (-1)^1 = -1,\quad a_2 = (-1)^2 = 1,\quad a_3 = (-1)^3 = -1,\;\dots
Logo, a sequência oscila entre 1 e -1.

Passo 3

Verificação de limite superior e inferior:
para todo n\ge0 vale
-1 \le a_n \le 1.
Isso mostra que a sequência é limitada superiormente por 1 e limitada inferiormente por -1. Como tem ambos os limites, dizemos simplesmente que é limitada.

Passo 4

Verificação de monoticidade:
  • Para ser crescente, precisaríamos de a_{n+1}\ge a_n para todo n. Mas já em n=0 temos
a_1 = -1 < 1 = a_0,
o que viola a condição.
  • Para ser decrescente, precisaríamos de a_{n+1}\le a_n para todo n. Em n=1 vemos
a_2 = 1 > -1 = a_1,
também violando a condição.
Portanto, a sequência não é nem crescente nem decrescente.

Resposta

A sequência \{(-1)^n\}_{n\ge0} é limitada, limitada superiormente (por 1), limitada inferiormente (por -1), e não é crescente nem decrescente.

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