Classifique as sequências abaixo (limitadas, não limitadas, limitada superiormente, limitada inferiormente, crescente, decrescente). Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a sequência
definida por
quanto a ser limitada, limitada superiormente, limitada inferiormente, crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar as definições de sequência limitada e de sequência monótona.
Passo 2
Para entender o comportamento de
, vamos escrever seus primeiros termos:
Logo, a sequência oscila entre
e
.
Passo 3
Verificação de limite superior e inferior:
para todo vale
para todo
Isso mostra que a sequência é limitada superiormente por
e limitada inferiormente por
. Como tem ambos os limites, dizemos simplesmente que é limitada.
Passo 4
Verificação de monoticidade:
- Para ser crescente, precisaríamos de
para todo . Mas já em temos
o que viola a condição.
- Para ser decrescente, precisaríamos de
para todo . Em vemos
também violando a condição.
Portanto, a sequência não é nem crescente nem decrescente.
Portanto, a sequência não é nem crescente nem decrescente.
Resposta
A sequência
é limitada, limitada superiormente (por
), limitada inferiormente (por
), e não é crescente nem decrescente.