Calcular a, b, c, d \in \mathbb{R} para que a função seja derivável em todo \mathbb{R}.
Exercícios de provas anteriores
f(x)= \begin{cases}a x^{2}+b x, & \text { se } x<-\pi \\ \cos x, & \text { se }-\pi \leq x \leq \pi \\ c x^{2}+d x, & \text { se } x>\pi\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} a x^{2}+b x,&x<-\pi,\\\ \cos x,&-\pi\le x\le\pi,\\\ c x^{2}+d x,&x>\pi, \end{cases}
e pede a,b,c,d\in\mathbb{R} tais que f seja derivável em todo \mathbb{R}.
Para isso precisamos que f seja contínua e que as derivadas laterais coincidam em x=-\pi e em x=\pi.
Passo 2
Condições em x=-\pi:
continuidade: o valor à esquerda f(-\pi^-)=a(-\pi)^2+b(-\pi)=a\pi^2 - b\pi deve igualar f(-\pi^+)=\cos(-\pi)=-1, ou seja
a\pi^2 - b\pi = -1.
derivabilidade: a derivada à esquerda é f'_-(x)=2a x + b, em x=-\pi dá 2a(-\pi)+b=-2a\pi+b, e a derivada à direita é f'_+(x)=-\sin x, em x=-\pi dá -\sin(-\pi)=0. Logo
da segunda vem (d=-2c\pi]. Substituindo na primeira: c\pi^2 -2c\pi\cdot\pi = -1 \;\Longrightarrow\; c\pi^2 -2c\pi^2 = -1 \;\Longrightarrow\; -\,c\pi^2=-1 \;\Longrightarrow\; c=\frac1{\pi^2},
e assim d=-2c\pi = -\frac{2}{\pi}.