Calcular a, b, c, d \in \mathbb{R} para que a função seja derivável em todo \mathbb{R}.

Exercícios de provas anteriores

f(x)= \begin{cases}a x^{2}+b x, & \text { se } x<-\pi \\ \cos x, & \text { se }-\pi \leq x \leq \pi \\ c x^{2}+d x, & \text { se } x>\pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} a x^{2}+b x,&x<-\pi,\\\ \cos x,&-\pi\le x\le\pi,\\\ c x^{2}+d x,&x>\pi, \end{cases}
e pede a,b,c,d\in\mathbb{R} tais que f seja derivável em todo \mathbb{R}.
Para isso precisamos que f seja contínua e que as derivadas laterais coincidam em x=-\pi e em x=\pi.

Passo 2

Condições em x=-\pi:
continuidade: o valor à esquerda f(-\pi^-)=a(-\pi)^2+b(-\pi)=a\pi^2 - b\pi deve igualar f(-\pi^+)=\cos(-\pi)=-1, ou seja
a\pi^2 - b\pi = -1.
derivabilidade: a derivada à esquerda é f'_-(x)=2a x + b, em x=-\pi 2a(-\pi)+b=-2a\pi+b, e a derivada à direita é f'_+(x)=-\sin x, em x=-\pi -\sin(-\pi)=0. Logo
-2a\pi + b = 0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a\pi^2 - b\pi = -1,\\\\ -2a\pi + b = 0, \end{cases}
da segunda equação vem b=2a\pi. Substituindo na primeira:
a\pi^2 - (2a\pi)\pi = -1 \;\Longrightarrow\; a\pi^2 -2a\pi^2 = -1 \;\Longrightarrow\; -\,a\pi^2=-1 \;\Longrightarrow\; a=\frac1{\pi^2},
e então
b=2a\pi = \frac{2}{\pi}.

Passo 4

Condições em x=\pi\): continuidade: \(f(\pi^-)=\cos\pi=-1\) deve igualar \(f(\pi^+)=c\pi^2+d\pi\), ou seja \[c\pi^2 + d\pi = -1.
derivabilidade: f'_-(\pi)=-\sin\pi=0 deve igualar f'_+(\pi)=2c\pi + d, logo
2c\pi + d = 0.
Resolvendo
\begin{cases} c\pi^2 + d\pi = -1,\\\\ 2c\pi + d = 0, \end{cases}
da segunda vem (d=-2c\pi]. Substituindo na primeira:
c\pi^2 -2c\pi\cdot\pi = -1 \;\Longrightarrow\; c\pi^2 -2c\pi^2 = -1 \;\Longrightarrow\; -\,c\pi^2=-1 \;\Longrightarrow\; c=\frac1{\pi^2},
e assim
d=-2c\pi = -\frac{2}{\pi}.

Resposta

a=\dfrac1{\pi^2},\quad b=\dfrac{2}{\pi},\quad c=\dfrac1{\pi^2},\quad d=-\dfrac{2}{\pi}.

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