Determine a, b, c \in \mathbb{R} tais que a função a seguir seja derivável em todo seu domínio.
f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}^{2} x & \text { se } x \leq 0 \\ a x^{2}+b & \text { se } 0<x \leq c \\ \ln x & \text { se } c<x\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \sin^{2}x & \text{se }x\le0,\\\ a x^{2}+b & \text{se }0<x\le c,\\\ \ln x & \text{se }c<x, \end{cases}
e pede a,b,c\in\mathbb{R} para que f seja derivável em todo domínio.
Conteúdo: continuidade e derivabilidade de função por partes. Vamos impor as condições em x=0 e em x=c.

Passo 2

Condição em x=0:
  • Continuidade exige
\lim_{x\to0^-}\sin^{2}x = \sin^{2}(0)=0, \quad \lim_{x\to0^+}(a x^{2}+b)=b
logo b=0.
  • Derivabilidade exige a igualdade das derivadas laterais em 0:
\left.\frac{d}{dx}\sin^{2}x\right|_{x=0} =\sin(2\cdot0)=0, \quad \left.\frac{d}{dx}(a x^{2}+b)\right|_{x=0}=2a\cdot0=0,
que já coincidem, sem dar mais restrição.

Passo 3

Continuidade em x=c (com b=0):
a c^{2}+0 = \ln c \quad\Longrightarrow\quad a\,c^{2}=\ln c.

Passo 4

Derivabilidade em x=c: as derivadas laterais devem ser iguais, isto é,
\left.\frac{d}{dx}(a x^{2})\right|_{x=c} =2a\,c, \quad \left.\frac{d}{dx}\ln x\right|_{x=c} =\frac{1}{c},
portanto
2a\,c = \frac1c \quad\Longrightarrow\quad 2a\,c^{2}=1.

Passo 5

Do sistema
a\,c^{2}=\ln c, \quad 2a\,c^{2}=1
segue 2\ln c=1, isto é,
\ln c=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad c=e^{1/2}.
Então c^{2}=e e de 2a\,c^{2}=1 vem
a=\frac1{2e}.
E já tínhamos b=0.

Resposta

a=\dfrac1{2e},\quad b=0,\quad c=e^{1/2}.

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