(2019/2) Calcule
, em que
e
é a curva de interseção do plano
com o cilindro
com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
e a curva
é a interseção do cilindro
com o plano
, orientada anti-horário vista de cima. O conteúdo aqui é a definição de integral de linha paramétrica:
Passo 2
Para parametrizar
, note que na projeção no plano
temos um círculo de raio 2. Escolhemos
pois
implica
. A orientação anti-horário corresponde a
crescente. Derivando,
Passo 3
Agora avaliamos
em
:
Em seguida calculamos o produto escalar
Simplificando,
Passo 4
Basta agora integrar de
a
: todas as parcelas são funções de seno ou cosseno ímpares ou de
, cujas integrais em um período inteiro se anulam. Logo
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