(2019/2) Calcule ointC F cdot d gamma, em que F(x, y, z)=(y^2, x^2, x+z) e C é a curva de interseção do plano z=x com o cilindro x^2+y^2=4 com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC vec Fcdot dgamma, onde vec F(x,y,z)=(y^2,,x^2,,x+z) e a curva C é a interseção do cilindro x^2+y^2=4 com o plano z=x, orientada anti-horário vista de cima. O conteúdo aqui é a definição de integral de linha paramétrica:
ointC vec Fcdot dgamma = integrala^b vec F(gamma(t))cdot gamma'(t),dt

Passo 2

Para parametrizar C, note que na projeção no plano xy temos um círculo de raio 2. Escolhemos
gamma(t)=(2cos t,;2sin t,;2cos t), tin[0,2pi],
pois z=x implica z=2cos t. A orientação anti-horário corresponde a t crescente. Derivando,
gamma'(t)=(-2sin t,;2cos t,;-2sin t)

Passo 3

Agora avaliamos vec F em gamma(t):
vec F(gamma(t))=(y^2,,x^2,,x+z)=(4sin^2 t,;4cos^2 t,;4cos t)
Em seguida calculamos o produto escalar
vec F(gamma(t))cdotgamma'(t)=4sin^2 t(-2sin t)+4cos^2 t(2cos t)+4cos t(-2sin t)
Simplificando,
vec Fcdotgamma'=-8sin^3 t+8cos^3 t-8sin tcos t

Passo 4

Basta agora integrar de 0 a 2pi: todas as parcelas são funções de seno ou cosseno ímpares ou de sin2t, cujas integrais em um período inteiro se anulam. Logo
integral0^2pi(-8sin^3 t+8cos^3 t-8sin tcos t),dt=0

Resposta

0

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