Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
lim x -infty(x5+x)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite usando os limites fundamentais. A gente tem a expressão:
lim x -infty (x5 + x)^x
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções base e expoente se comportam quando $ x $ tende a menos infinito. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a base da nossa potência: $ \frac{x}{5 + x} $. Quando $ x $ tende a $ -\infty $, tanto o numerador quanto o denominador estão dominados pelo termo $ x $. Então, podemos simplificar:
x5 + x
Mas na verdade, como $ x $ é muito grande e negativo, precisamos ver a diferença mais precisamente. Reescrevendo a fração:
x
Quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ \frac{5}{x} $ tende a 0. Então:
-infty
Portanto, a base está se aproximando de 1.

Passo 3

Agora, o expoente é $ x $, que está tendendo a $ -\infty $. Então, temos uma forma do tipo $ 1^\infty $ (na verdade, $ 1^{-\infty} $), que é uma indeterminação clássica. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural para simplificar a expressão.
Vamos chamar o limite original de $ L $:
x
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
-infty

Passo 4

Agora, precisamos calcular:
lim x -infty x cdot ln(x5 + x)
Vamos simplificar o argumento do logaritmo:
ln(x5 + x) = ln(11 + 5x) = -ln(1 + 5x)
Então, nossa expressão fica:
ln L = -lim x -infty x cdot ln(1 + 5x)

Passo 5

Agora, lembramos que quando $ y $ é pequeno, $ \ln(1 + y) \approx y $. Aqui, $ \frac{5}{x} $ tende a 0 quando $ x $ tende a $ -\infty $. Então:
y
Substituindo isso na expressão:
ln(1 + y) approx y

Passo 6

Agora que encontramos $ \ln L = -5 $, podemos encontrar $ L $ tirando a exponencial dos dois lados:
ln L = -5

Resposta

O limite é $ e^{-5} $.

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