Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite usando os limites fundamentais. A gente tem a expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções base e expoente se comportam quando $ x $ tende a menos infinito. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a base da nossa potência: $ \frac{x}{5 + x} $. Quando $ x $ tende a $ -\infty $, tanto o numerador quanto o denominador estão dominados pelo termo $ x $. Então, podemos simplificar:
Mas na verdade, como $ x $ é muito grande e negativo, precisamos ver a diferença mais precisamente. Reescrevendo a fração:
Quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ \frac{5}{x} $ tende a 0. Então:
Portanto, a base está se aproximando de 1.
Passo 3
Agora, o expoente é $ x $, que está tendendo a $ -\infty $. Então, temos uma forma do tipo $ 1^\infty $ (na verdade, $ 1^{-\infty} $), que é uma indeterminação clássica. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural para simplificar a expressão.
Vamos chamar o limite original de $ L $:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora, precisamos calcular:
Vamos simplificar o argumento do logaritmo:
Então, nossa expressão fica:
Passo 5
Agora, lembramos que quando $ y $ é pequeno, $ \ln(1 + y) \approx y $. Aqui, $ \frac{5}{x} $ tende a 0 quando $ x $ tende a $ -\infty $. Então:
Substituindo isso na expressão:
Passo 6
Agora que encontramos $ \ln L = -5 $, podemos encontrar $ L $ tirando a exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite é $ e^{-5} $.