202^{\text {an }} Questão (20 pontos) Em que direção seguir, começando na origem, para obter a taxa mais rápida de crescimento da função f(x, y, z)=(2-x-y)^{3}+(3 x+2 y-z+1)^{2} ?
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y,z)=(2-x-y)^{3}+(3x+2y-z+1)^{2}
e pergunta: “Em que direção seguir, começando na origem, para obter a taxa mais rápida de crescimento da função?”.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A função f está definida em variáveis x,y,z.
O ponto de partida é a origem, isto é (0,0,0).
Queremos a direção (um vetor de direção, normalmente unitário) que, saindo da origem, dá a maior taxa de aumento instantâneo de f.
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (devagar e com jeitinho): quando temos uma função de várias variáveis f(x,y,z), a taxa de variação de f numa direção dada por um vetor unitário \mathbf{u} (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1) é o chamado derivada direcional. A fórmula chave é
\text{derivada direcional de }f \text{ em direção } \mathbf{u} = \nabla f\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o vetor gradiente cujas componentes são as derivadas parciais:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Por que isso? Intuição e mini-aula: se andamos uma pequena distância t na direção \mathbf{u} a partir de (x,y,z), nosso novo ponto é (x,y,z)+t\mathbf{u}. Aplicando a regra da cadeia para a função g(t)=f((x,y,z)+t\mathbf{u}), obtemos g'(0)=\nabla f(x,y,z)\cdot\mathbf{u}. Ou seja, a projeção do gradiente sobre \mathbf{u} mede a taxa de mudança nessa direção.
Agora, para encontrar a direção de máximo crescimento entre todos os vetores unitários, usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
com igualdade exatamente quando \mathbf{u} é paralelo a \nabla f. Conclusão prática: a direção de mais rápido crescimento em um ponto é a direção do gradiente nesse ponto; o vetor unitário dessa direção é \displaystyle \frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}. (Se quiser a direção de decrescimento máximo, é o oposto: -\nabla f.)
Passo 3
Vamos calcular o gradiente \nabla f(x,y,z). Precisamos das derivadas parciais de cada termo. Separe a função em duas partes:
A(x,y)=(2-x-y)^3,\qquad B(x,y,z)=(3x+2y-z+1)^2.
Derivando A:
A derivada de (2-x-y)^3 em relação a x é, pela regra da cadeia,
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento. Para obter a direção como vetor unitário (padrão em muitos enunciados), normalizamos. Primeiro a norma:
Observação final e motivadora: a taxa máxima de crescimento (o valor da derivada direcional máxima) é justamente a norma do gradiente, isto é \|\nabla f(0,0,0)\|=2\sqrt{26}. Se quiser caminhar na direção de decrescimento mais rápido, segue-se \displaystyle -\frac{(-3,-4,-1)}{\sqrt{26}}=\frac{(3,4,1)}{\sqrt{26}}. Você já fez o mais difícil — derivadas parciais e normalização — tá mandando bem!