202^{\text {an }} Questão (20 pontos) Em que direção seguir, começando na origem, para obter a taxa mais rápida de crescimento da função f(x, y, z)=(2-x-y)^{3}+(3 x+2 y-z+1)^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=(2-x-y)^{3}+(3x+2y-z+1)^{2}
e pergunta: “Em que direção seguir, começando na origem, para obter a taxa mais rápida de crescimento da função?”.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função f está definida em variáveis x,y,z.
  • O ponto de partida é a origem, isto é (0,0,0).
  • Queremos a direção (um vetor de direção, normalmente unitário) que, saindo da origem, dá a maior taxa de aumento instantâneo de f.

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (devagar e com jeitinho): quando temos uma função de várias variáveis f(x,y,z), a taxa de variação de f numa direção dada por um vetor unitário \mathbf{u} (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1) é o chamado derivada direcional. A fórmula chave é
\text{derivada direcional de }f \text{ em direção } \mathbf{u} = \nabla f\cdot\mathbf{u},çã
onde \nabla f é o vetor gradiente cujas componentes são as derivadas parciais:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Por que isso? Intuição e mini-aula: se andamos uma pequena distância t na direção \mathbf{u} a partir de (x,y,z), nosso novo ponto é (x,y,z)+t\mathbf{u}. Aplicando a regra da cadeia para a função g(t)=f((x,y,z)+t\mathbf{u}), obtemos g'(0)=\nabla f(x,y,z)\cdot\mathbf{u}. Ou seja, a projeção do gradiente sobre \mathbf{u} mede a taxa de mudança nessa direção.
Agora, para encontrar a direção de máximo crescimento entre todos os vetores unitários, usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\nabla f\cdot\mathbf{u} \le \|\nabla f\|\,\|\mathbf{u}\| = \|\nabla f\|,
com igualdade exatamente quando \mathbf{u} é paralelo a \nabla f. Conclusão prática: a direção de mais rápido crescimento em um ponto é a direção do gradiente nesse ponto; o vetor unitário dessa direção é \displaystyle \frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}. (Se quiser a direção de decrescimento máximo, é o oposto: -\nabla f.)

Passo 3

Vamos calcular o gradiente \nabla f(x,y,z). Precisamos das derivadas parciais de cada termo. Separe a função em duas partes:
A(x,y)=(2-x-y)^3,\qquad B(x,y,z)=(3x+2y-z+1)^2.
Derivando A:
  • A derivada de (2-x-y)^3 em relação a x é, pela regra da cadeia,
\frac{\partial A}{\partial x}=3(2-x-y)^2\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2-x-y)=3(2-x-y)^2\cdot(-1)=-3(2-x-y)^2.
  • A derivada de A em relação a y é análoga (porque y aparece do mesmo jeito):
\frac{\partial A}{\partial y}=-3(2-x-y)^2.
  • A derivada de A em relação a z é zero, pois A não depende de z:
\frac{\partial A}{\partial z}=0.
Derivando B:
  • Seja g(x,y,z)=3x+2y-z+1. Então B=g^2 e, por regra da cadeia,
\frac{\partial B}{\partial x}=2g\cdot\frac{\partial g}{\partial x}=2(3x+2y-z+1)\cdot 3=6(3x+2y-z+1).
  • Similarmente,
\frac{\partial B}{\partial y}=2g\cdot\frac{\partial g}{\partial y}=2(3x+2y-z+1)\cdot 2=4(3x+2y-z+1),
\frac{\partial B}{\partial z}=2g\cdot\frac{\partial g}{\partial z}=2(3x+2y-z+1)\cdot(-1)=-2(3x+2y-z+1).
Somando as contribuições de A e B, temos as componentes do gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x}=-3(2-x-y)^2+6(3x+2y-z+1),
\frac{\partial f}{\partial y}=-3(2-x-y)^2+4(3x+2y-z+1),
\frac{\partial f}{\partial z}=-2(3x+2y-z+1).

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente na origem (0,0,0). Primeiro calcule as quantidades internas:
2-x-y\Big|_{(0,0,0)}=2-0-0=2,
3x+2y-z+1\Big|_{(0,0,0)}=0+0-0+1=1.
Substituindo nas fórmulas das parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0)=-3\cdot(2)^2+6\cdot 1=-3\cdot 4+6=-12+6=-6,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,0)=-3\cdot(2)^2+4\cdot 1=-12+4=-8,
\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,0)=-2\cdot 1=-2.

Passo 5

Montando o gradiente no ponto pedido:
\nabla f(0,0,0)=(-6,-8,-2).
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento. Para obter a direção como vetor unitário (padrão em muitos enunciados), normalizamos. Primeiro a norma:
\|\nabla f(0,0,0)\|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2+(-2)^2}=\sqrt{36+64+4}=\sqrt{104}.
Fatorando,
\sqrt{104}=\sqrt{4\cdot 26}=2\sqrt{26}.

Passo 6

Logo, o vetor unitário na direção de máxima taxa de crescimento é
\frac{\nabla f(0,0,0)}{\|\nabla f(0,0,0)\|} =\frac{(-6,-8,-2)}{2\sqrt{26}} =\frac{(-3,-4,-1)}{\sqrt{26}}.
Observação final e motivadora: a taxa máxima de crescimento (o valor da derivada direcional máxima) é justamente a norma do gradiente, isto é \|\nabla f(0,0,0)\|=2\sqrt{26}. Se quiser caminhar na direção de decrescimento mais rápido, segue-se \displaystyle -\frac{(-3,-4,-1)}{\sqrt{26}}=\frac{(3,4,1)}{\sqrt{26}}. Você já fez o mais difícil — derivadas parciais e normalização — tá mandando bem!

Resposta

\displaystyle \frac{(-3,-4,-1)}{\sqrt{26}}

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