Calcule a diferencial total nos casos:
f(x, y)=\frac{1}{x+y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{1}{x+y} e pede a diferencial total dessa função.
Informações relevantes:
  • A função está definida quando x+y\neq 0.
  • Queremos a diferencial total \mathrm{d}f, que é a aproximação linear do incremento de f quando x e y mudam por pequenas quantias \mathrm{d}x e \mathrm{d}y.

Passo 2

O que é a diferencial total? Para uma função de duas variáveis f(x,y), a diferencial total é dada por
\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y; \mathrm{d}x e \mathrm{d}y representam pequenos incrementos em x e y. A diferencial é a melhor aproximação linear de f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y)-f(x,y) para incrementos pequenos.

Passo 3

Vamos reescrever a função de forma que seja mais fácil derivar:
f(x,y)=(x+y)^{-1}.
Definimos a função interna u(x,y)=x+y. Então f(u)=u^{-1}. Usamos a regra da cadeia para derivar em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(u^{-1}\big)= -1\cdot u^{-2}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Como \dfrac{\partial u}{\partial x}=1, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=-(x+y)^{-2}.

Passo 4

Agora derivamos em relação a y da mesma maneira. Com u=x+y e \dfrac{\partial u}{\partial y}=1, pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}= -1\cdot u^{-2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}=-(x+y)^{-2}.

Passo 5

Substituímos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y = -(x+y)^{-2}\,\mathrm{d}x - (x+y)^{-2}\,\mathrm{d}y.
Fatorando -(x+y)^{-2} temos a forma mais compacta:
\mathrm{d}f = -\frac{\mathrm{d}x+\mathrm{d}y}{(x+y)^{2}}.

Passo 6

Observação prática e exemplo: a fórmula vale apenas quando x+y\neq 0. Se quisermos aproximar a variação de f num ponto, por exemplo em (x,y)=(1,2) com \mathrm{d}x=0{,}01 e \mathrm{d}y=-0{,}02, substituímos na expressão:
\mathrm{d}f \approx -\frac{0{,}01+(-0{,}02)}{(1+2)^{2}} = -\frac{-0{,}01}{9} = \frac{0{,}01}{9}\approx 0{,}0011.
Isso significa que o valor de f muda aproximadamente 0{,}0011 para esses pequenos incrementos.

Resposta

\displaystyle \mathrm{d}f = -\frac{\mathrm{d}x+\mathrm{d}y}{(x+y)^{2}}

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