Calcule a diferencial total nos casos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a diferencial total dessa função.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função está definida quando
. - Queremos a diferencial total
, que é a aproximação linear do incremento de quando e mudam por pequenas quantias e .
Passo 2
O que é a diferencial total? Para uma função de duas variáveis
, a diferencial total é dada por
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
;
e
representam pequenos incrementos em
e
. A diferencial é a melhor aproximação linear de
para incrementos pequenos.
Passo 3
Vamos reescrever a função de forma que seja mais fácil derivar:
Definimos a função interna
. Então
. Usamos a regra da cadeia para derivar em relação a
:
Como
, obtemos
Passo 4
Agora derivamos em relação a
da mesma maneira. Com
e
, pela regra da cadeia:
Passo 5
Substituímos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
Fatorando
temos a forma mais compacta:
Passo 6
Observação prática e exemplo: a fórmula vale apenas quando
. Se quisermos aproximar a variação de
num ponto, por exemplo em
com
e
, substituímos na expressão:
Isso significa que o valor de
muda aproximadamente
para esses pequenos incrementos.