Verfique se a função dada é diferenciável e o conjunto dos pontos em que a função é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é diferenciável e determinar o conjunto dos pontos onde ela é diferenciável. A função dada é
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i)}\quad f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).
\text{(ii)}\quad f(0,0)=0.
O que se pede:
  • Determinar onde f é diferenciável.
  • Justificar a resposta (mostrar diferenciabilidade fora da origem e decidir se é diferenciável em (0,0)).]

Passo 2

Mostrar diferenciabilidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação da ideia: uma função dada por quociente de polinômios é suave (toda derivada existe e é contínua) onde o denominador não é zero. Aqui, para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}\neq0, logo a expressão racional é formada por polinômios com denominador não nulo — portanto é diferenciável (na verdade C^\infty) em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Para ficar concreto, calculemos as derivadas parciais de f em (x,y)\neq(0,0) usando a regra do quociente (mostrar que elas existem e são funções racionais contínuas na região):
f(x,y)=\frac{N(x,y)}{D(x,y)}\quad\text{com}\quad N(x,y)=x^{2}y,\; D(x,y)=x^{2}+y^{2}.
A derivada parcial em relação a x é
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &=\frac{\partial_x N\cdot D - N\cdot \partial_x D}{D^{2}}\\[4pt] &=\frac{(2xy)(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}y)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\[4pt] &=\frac{2xy(x^{2}+y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\[4pt] &=\frac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. \end{aligned}
A derivada parcial em relação a y é
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &=\frac{\partial_y N\cdot D - N\cdot \partial_y D}{D^{2}}\\[4pt] &=\frac{(x^{2})(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\[4pt] &=\frac{x^{2}(x^{2}+y^{2}-2y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\[4pt] &=\frac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. \end{aligned}
Essas expressões são funções racionais com denominador \neq 0 para (x,y)\neq(0,0), portanto são contínuas nessa região. Como as derivadas parciais existem e são contínuas em torno de qualquer ponto (x,y)\neq(0,0), concluímos que f é diferenciável em todo (x,y)\neq(0,0).]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais no ponto (0,0) (definição) para obter o candidato a diferencial em (0,0).
Definição usada: a derivada parcial de f em (0,0) na direção de x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e x\neq0 temos f(x,0)=\dfrac{x^{2}\cdot 0}{x^{2}+0}=0. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
De forma análoga, para x=0 e y\neq0 temos f(0,y)=0, então
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0.
Logo as derivadas parciais em (0,0) existem e são
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
O candidato a diferencial linear em (0,0) seria a aplicação L(x,y)=0\cdot x + 0\cdot y = 0.

Passo 4

Verificar se f é realmente diferenciável em (0,0) — usar a definição de diferenciabilidade (aproximação linear) e derivadas direcionais.
Condição de diferenciabilidade em (0,0): deve existir uma aplicação linear L (aqui o único candidato dado pelas parciais é L\equiv 0) tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se f fosse diferenciável em (0,0) com diferencial L\equiv 0, então para toda direção v\in\mathbb{R}^{2} o limite
\lim_{t\to0}\frac{f(tv)}{t}
(deve existir e ser igual a L(v)=0). Vamos verificar esse limite ao longo de retas y=mx.
Parametrize por (t,mt). Para t\neq0 temos, usando x=t,\\ y=mt,
f(t,mt)=\frac{t^{2}\cdot(mt)}{t^{2}+(mt)^{2}}=\frac{m t^{3}}{t^{2}(1+m^{2})}=\frac{m t}{1+m^{2}}.
Portanto
\lim_{t\to0}\frac{f(t,mt)}{t}=\frac{m}{1+m^{2}}.
Esse valor depende de m. Para m\neq0 obtemos um número não nulo, por exemplo se m=1 o limite é \tfrac{1}{2}. Mas se f fosse diferenciável com diferencial L\equiv0, então todos esses limites teriam de ser 0. Como encontramos direções em que o limite é diferente de zero, isso contradiz a diferenciabilidade em (0,0).
Uma forma alternativa e direta de ver a falha da definição é calcular
\frac{f(x,x)}{\|(x,x)\|}=\frac{\dfrac{x^{3}}{2x^{2}}}{\sqrt{2}\,|x|}=\frac{x/2}{\sqrt{2}\,|x|}=\frac{\operatorname{sgn}(x)}{2\sqrt{2}},
cujo limite quando x\to0 não é 0. Logo f(x,y) não é o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) próximo da origem, portanto a condição de diferenciabilidade (com L=0) falha.
Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Resumo final e conjunto dos pontos diferenciáveis.
  • Em qualquer ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0) a função é diferenciável (é uma função racional com denominador não nulo; as derivadas parciais existem e são contínuas ali).
  • Em (0,0) a função não é diferenciável (as derivadas parciais existem e valem zero, mas a aproximação linear exigida pela diferenciabilidade falha — existem direções em que a derivada direcional é diferente de zero).

Resposta

A função é diferenciável em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e não é diferenciável em (0,0).

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