2022
Potencial elétrico de uma configuraçäo de carga (esfericamente simétrica) depende somente de coordenada radial esférica V^prime(r)=alpha exp (-beta r) onde cocficientes a c beta säo constantes. Determine o campo elétrico associado com este potencial. Escreve componentes cartesianas deste campo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que o potencial elétrico de uma configuração de carga que é simetricamente esférica depende apenas da coordenada radial . A fórmula do potencial é , onde e são constantes. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico associado a esse potencial e escrever suas componentes cartesianas. Para isso, vamos precisar lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação , onde é o gradiente do potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico. O campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial, ou seja:
E = -dVdr r
Aqui, é o vetor unitário na direção radial. Como temos , isso significa que .

Passo 3

Substituindo E = -alpha e^-beta r r na expressão do campo elétrico, temos:
Então, o campo elétrico na direção radial é .

Passo 4

Agora, vamos transformar esse campo elétrico de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Sabemos que em coordenadas cartesianas, o vetor radial r = x i + y j + z kr pode ser expressado nas direções , e da seguinte forma:
Onde .

Passo 5

Substituindo E = -alpha e^-beta r cdot x i + y j + z kr na expressão do campo elétrico, temos:
E = -alpha e^-beta rr (x i + y j + z k)
Simplificando, fica:

Resposta

O campo elétrico associado ao potencial dado é:
E = -alpha e^-beta rr ( x i + y j + z k )

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