Um circuito RCL oscila com frequência igual a
da frequência de ressonância. Calcule a taxa de decréscimo da amplitude a cada período. (59.2%)
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um circuito RCL que está oscilando numa frequência que é 99% da frequência de ressonância. Nosso objetivo aqui é calcular quanta a amplitude dessas oscilações diminui a cada período. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os circuitos RCL e como a resistência afeta a oscilação das correntes elétricas. Vamos usar algumas fórmulas de física envolvendo amortecimento e frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência de ressonância
de um circuito RCL é dada por:
onde
é a indutância e
é a capacitância do circuito.
Passo 3
Como o circuito está oscilando a 99% da frequência de ressonância, a frequência real
é:
Isso significa que o circuito está um pouco fora da ressonância, o que introduz um amortecimento nas oscilações.
Passo 4
O amortecimento é causado pela resistência
no circuito. O fator de amortecimento
é dado por:
Esse fator nos diz quão rápido a amplitude das oscilações diminui ao longo do tempo.
Passo 5
A amplitude
de um circuito RCL amortecido diminui exponencialmente com o tempo, seguindo a fórmula:
onde
é a amplitude inicial e
é o tempo.
Passo 6
Queremos encontrar a taxa de decréscimo da amplitude a cada período
. Primeiro, vamos relacionar o período com a frequência:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a razão entre a amplitude após um período e a amplitude inicial:
Para encontrar a taxa de decréscimo, rearranjamos a equação:
Passo 8
Substituindo
e
na equação da taxa de decréscimo:
Simplificando:
Passo 9
Sabendo que
, substituímos na equação:
Simplificando
:
Resposta
A taxa de decréscimo da amplitude a cada período é
, o que corresponde a aproximadamente 59,2 %.