Um circuito RCL oscila com frequência igual a 99 % da frequência de ressonância. Calcule a taxa de decréscimo da amplitude a cada período. (59.2%)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um circuito RCL que está oscilando numa frequência que é 99% da frequência de ressonância. Nosso objetivo aqui é calcular quanta a amplitude dessas oscilações diminui a cada período. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os circuitos RCL e como a resistência afeta a oscilação das correntes elétricas. Vamos usar algumas fórmulas de física envolvendo amortecimento e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência de ressonância omega0 = 1raizLC de um circuito RCL é dada por:
onde é a indutância e é a capacitância do circuito.

Passo 3

Como o circuito está oscilando a 99% da frequência de ressonância, a frequência real omega = 0,99 , omega0 é:
Isso significa que o circuito está um pouco fora da ressonância, o que introduz um amortecimento nas oscilações.

Passo 4

O amortecimento é causado pela resistência alpha = R2L no circuito. O fator de amortecimento é dado por:
Esse fator nos diz quão rápido a amplitude das oscilações diminui ao longo do tempo.

Passo 5

A amplitude A(t) = A0 e^-alpha t de um circuito RCL amortecido diminui exponencialmente com o tempo, seguindo a fórmula:
onde é a amplitude inicial e é o tempo.

Passo 6

Queremos encontrar a taxa de decréscimo da amplitude a cada período T = 2piomega . Primeiro, vamos relacionar o período com a frequência:
T = 2pi0,99 omega0
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos calcular a razão entre a amplitude após um período e a amplitude inicial:
A(T)A0 = e^-alpha T
Para encontrar a taxa de decréscimo, rearranjamos a equação:
Taxa de decréscimo = 1 - e^-alpha T é

Passo 8

Substituindo Taxa de decréscimo = 1 - e^-R2L cdot 2pi0,99 omega0 e Taxa de decréscimo = 1 - e^-R pi0,99 L omega0 na equação da taxa de decréscimo:
é
Simplificando:
é

Passo 9

Sabendo que Taxa de decréscimo = 1 - e^-R pi raizLC0,99 L , substituímos na equação:
Taxa de decréscimo = 1 - e^-R pi raizC0,99 raizL é
Simplificando :
é

Resposta

A taxa de decréscimo da amplitude a cada período é , o que corresponde a aproximadamente 59,2 %.

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