Na superfície de uma esfera condutora de raio
encontra-se carga eléletrica
distribuida uniformemente. Em tomo deesta esfera existe uma camada esférica de material dielétrico com permissividade
. Os raios da camada tem valores
(interno) e
(externo). Determine campo eleétrico em todo espaço (sugestão : utilize Lei de Gauss em materiais dielétricos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora com raio $ r = a $ que tem uma carga elétrica total $ Q $ distribuída uniformemente na sua superfície. Em volta dessa esfera, existe uma camada esférica de material dielétrico com permissividade $ \epsilon $, que vai de $ r = a $ até $ r = 2a $. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em todas as regiões do espaço usando a Lei de Gauss aplicada a materiais dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o espaço em três regiões para facilitar:
- Dentro da esfera condutora ($ r < a $)
- Dentro da camada dielétrica ($ a < r < 2a $)
- Fora da camada dielétrica ($ r > 2a $)
Passo 3
Região 1: Dentro da esfera condutora ($ r < a $)
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso porque as cargas livres se redistribuem na superfície para neutralizar o campo interno. Então, para $ r < a $:
Passo 4
Região 2: Dentro da camada dielétrica ($ a < r < 2a $)
Aqui, temos um material dielétrico com permissividade $ \epsilon $. Vamos usar a Lei de Gauss para materiais dielétricos, que é:
Onde $ \vec{D} $ é o deslocamento elétrico e $ Q_{livre} $ é a carga livre dentro da superfície gaussiana. Sabemos que:
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $ nessa região. A única carga livre dentro dela é $ Q $. Então:
Resolvendo para $ E $:
Passo 5
Região 3: Fora da camada dielétrica ($ r > 2a $)
Nessa região, estamos fora do dielétrico, no vácuo. A Lei de Gauss aqui é a forma clássica:
Portanto, o campo elétrico é:
Resposta
O campo elétrico em todo o espaço é dado por: