Na superfície de uma esfera condutora de raio r=a encontra-se carga eléletrica Q distribuida uniformemente. Em tomo deesta esfera existe uma camada esférica de material dielétrico com permissividade epsilon. Os raios da camada tem valores r=a (interno) e r=2 a (externo). Determine campo eleétrico em todo espaço (sugestão : utilize Lei de Gauss em materiais dielétricos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora com raio $ r = a $ que tem uma carga elétrica total $ Q $ distribuída uniformemente na sua superfície. Em volta dessa esfera, existe uma camada esférica de material dielétrico com permissividade $ \epsilon $, que vai de $ r = a $ até $ r = 2a $. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em todas as regiões do espaço usando a Lei de Gauss aplicada a materiais dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o espaço em três regiões para facilitar:
  1. Dentro da esfera condutora ($ r < a $)
  2. Dentro da camada dielétrica ($ a < r < 2a $)
  3. Fora da camada dielétrica ($ r > 2a $)

Passo 3

Região 1: Dentro da esfera condutora ($ r < a $)
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso porque as cargas livres se redistribuem na superfície para neutralizar o campo interno. Então, para $ r < a $:
r < a

Passo 4

Região 2: Dentro da camada dielétrica ($ a < r < 2a $)
Aqui, temos um material dielétrico com permissividade $ \epsilon $. Vamos usar a Lei de Gauss para materiais dielétricos, que é:
a < r < 2a
Onde $ \vec{D} $ é o deslocamento elétrico e $ Q_{livre} $ é a carga livre dentro da superfície gaussiana. Sabemos que:
epsilon
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $ nessa região. A única carga livre dentro dela é $ Q $. Então:
oint D cdot dA = Qlivre
Resolvendo para $ E $:
D

Passo 5

Região 3: Fora da camada dielétrica ($ r > 2a $)
Nessa região, estamos fora do dielétrico, no vácuo. A Lei de Gauss aqui é a forma clássica:
r > 2a
Portanto, o campo elétrico é:
oint E cdot dA = Qepsilon0

Resposta

O campo elétrico em todo o espaço é dado por:
E(r) = 0 & para r < a, dfracQ4pi epsilon r^2 & para a <= r <= 2a, dfracQ4pi epsilon0 r^2 & para r > 2a

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