(2023.1) Sabe-se que as plaquetas no sangue de uma pessoa suprida de vitamina B12 seguem uma distribuição de Poisson a uma taxa de 0,2 plaqueta por picolitro.
(a) Qual a probabilidade de que, em uma amostra de 26 picolitros do sangue de alguém suprido de vitamina B12, sejam encontradas 4 plaquetas ou mais?
(b) Suponha que um biomédico está disposto a analisar amostras distintas de 26 picolitros sanguíneos de pessoas supridas com vitamina B12, até encontrar a primeira amostra com 4 plaquetas ou mais. Suponha amostras independentes. Qual o número esperado de amostras que o biomédico deve analisar?
(c) Em pessoas não supridas de vitamina B12, a ocorrência de plaquetas no sangue também segue uma distribuição de Poisson, mas a uma taxa de 0,1 plaqueta por picolitro. Se uma pessoa fez o exame de sangue e encontraram-se 3 plaquetas em um volume sanguíneo de 20 picolitros, o que você acha que é mais provável: que ela esteja suprida de vitamina B12 ou não? Por quê?
(a) Qual a probabilidade de que, em uma amostra de 26 picolitros do sangue de alguém suprido de vitamina B12, sejam encontradas 4 plaquetas ou mais?
(b) Suponha que um biomédico está disposto a analisar amostras distintas de 26 picolitros sanguíneos de pessoas supridas com vitamina B12, até encontrar a primeira amostra com 4 plaquetas ou mais. Suponha amostras independentes. Qual o número esperado de amostras que o biomédico deve analisar?
(c) Em pessoas não supridas de vitamina B12, a ocorrência de plaquetas no sangue também segue uma distribuição de Poisson, mas a uma taxa de 0,1 plaqueta por picolitro. Se uma pessoa fez o exame de sangue e encontraram-se 3 plaquetas em um volume sanguíneo de 20 picolitros, o que você acha que é mais provável: que ela esteja suprida de vitamina B12 ou não? Por quê?
Passo 1
O enunciado e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
- Taxa de ocorrência de plaquetas em pessoas supridas de vitamina B12:
plaquetas por picolitro. - Taxa em pessoas não supridas:
plaqueta por picolitro. - Parte (a): numa amostra de
picolitros de sangue de alguém suprido, qual a probabilidade de encontrar plaquetas ou mais? - Parte (b): supondo amostras independentes de
picolitros colhidas até aparecer a primeira amostra com plaquetas, qual o número esperado de amostras a analisar? - Parte (c): numa pessoa com
plaquetas observadas em picolitros, comparar qual hipótese é mais plausível — suprida de vitamina B12 ou não — e justificar.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo).
- A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de um evento raro em um dado volume/intervalo quando essas ocorrências são independentes e ocorrem a uma taxa constante. O parâmetro é
, que representa a média (esperança) do número de ocorrências no volume considerado. - Se a taxa é
(plaquetas por picolitro) e o volume é (picolitros), então o parâmetro é . Aqui cada símbolo significa: -
: taxa por unidade de volume (plaquetas/pL), -
: volume em unidades compatíveis (pL), -
: média esperada de plaquetas no volume .
-
- A probabilidade de observar exatamente
ocorrências em uma Poisson( ) é dada por
- Para uma probabilidade de "pelo menos
" usamos a complementar:
Passo 3
Parte (a): calcular
para uma amostra de
picolitros quando a taxa é
.
Agora queremos
com
, então
Passo 4
Calcular termo a termo (mostrando as contas para fazer “na prova” sem pular passos).
- Primeiro o fator comum
. Numericamente (usei a propriedade ). -
-
(ou usar.) -
-
Somando os quatro termos:
Portanto
Passo 5
Interpretação e arredondamento para resposta prática.
- A probabilidade pedida na (a) é aproximadamente
(76,17%). Isso significa que, para uma amostra de pL de uma pessoa suprida, é bastante provável observar 4 ou mais plaquetas.
Passo 6
Parte (b): número esperado de amostras até encontrar a primeira com
plaquetas.
- Cada amostra de
pL é um ensaio independente com probabilidade de “sucesso” (ter plaquetas) igual a que calculamos na parte (a): . - O número de amostras
até o primeiro sucesso (contando a amostra que deu sucesso) segue a distribuição geométrica com parâmetro . Para essa versão da geométrica vale
- Logo
- Interpretação: em média o biomédico terá que analisar cerca de
amostras — na prática isso significa que normalmente encontrará o sucesso já na primeira amostra; às vezes precisará de 2, raramente mais.
Passo 7
Parte (c): comparar qual hipótese é mais provável dado que foram observadas
plaquetas em
pL.
- Primeiro calculemos os parâmetros
sob cada hipótese (pegando volumes do enunciado): - Se a pessoa for suprida:
- Se a pessoa não for suprida:
- Se a pessoa for suprida:
- Calculemos as verossimilhanças (probabilidades de observar exatamente
plaquetas) em cada caso: - Para
:
- Para
:
- Para
- Comparando:
. Assim, observar exatamente 3 plaquetas em 20 pL é ligeiramente mais provável se a pessoa for suprida de vitamina B12 do que se não for. - Observação sobre interpretação: isso é uma comparação de verossimilhanças (likelihoods). Se, antes do exame, as duas hipóteses fossem igualmente prováveis (prior igual), então a posterior (após ver os dados) favorecerá a hipótese “suprida”. A evidência, porém, é fraca — as probabilidades são bem próximas (relação de verossimilhanças cerca de
).
Resposta
(a)
(b) amostras (esperança).
(c) Mais provável que a pessoa esteja suprida de vitamina B12; pois é maior do que
.
(b)
(c) Mais provável que a pessoa esteja suprida de vitamina B12; pois