(2023.1) Sabe-se que as plaquetas no sangue de uma pessoa suprida de vitamina B12 seguem uma distribuição de Poisson a uma taxa de 0,2 plaqueta por picolitro.
(a) Qual a probabilidade de que, em uma amostra de 26 picolitros do sangue de alguém suprido de vitamina B12, sejam encontradas 4 plaquetas ou mais?
(b) Suponha que um biomédico está disposto a analisar amostras distintas de 26 picolitros sanguíneos de pessoas supridas com vitamina B12, até encontrar a primeira amostra com 4 plaquetas ou mais. Suponha amostras independentes. Qual o número esperado de amostras que o biomédico deve analisar?
(c) Em pessoas não supridas de vitamina B12, a ocorrência de plaquetas no sangue também segue uma distribuição de Poisson, mas a uma taxa de 0,1 plaqueta por picolitro. Se uma pessoa fez o exame de sangue e encontraram-se 3 plaquetas em um volume sanguíneo de 20 picolitros, o que você acha que é mais provável: que ela esteja suprida de vitamina B12 ou não? Por quê?

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Taxa de ocorrência de plaquetas em pessoas supridas de vitamina B12: \,0{,}2 plaquetas por picolitro.
  • Taxa em pessoas não supridas: \,0{,}1 plaqueta por picolitro.
  • Parte (a): numa amostra de \,26 picolitros de sangue de alguém suprido, qual a probabilidade de encontrar \,4 plaquetas ou mais?
  • Parte (b): supondo amostras independentes de \,26 picolitros colhidas até aparecer a primeira amostra com \ge 4 plaquetas, qual o número esperado de amostras a analisar?
  • Parte (c): numa pessoa com \,3 plaquetas observadas em \,20 picolitros, comparar qual hipótese é mais plausível — suprida de vitamina B12 ou não — e justificar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo).
  • A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de um evento raro em um dado volume/intervalo quando essas ocorrências são independentes e ocorrem a uma taxa constante. O parâmetro é \lambda, que representa a média (esperança) do número de ocorrências no volume considerado.
  • Se a taxa é r (plaquetas por picolitro) e o volume é V (picolitros), então o parâmetro é \lambda = r\cdot V. Aqui cada símbolo significa:
    • r: taxa por unidade de volume (plaquetas/pL),
    • V: volume em unidades compatíveis (pL),
    • \lambda: média esperada de plaquetas no volume V.
  • A probabilidade de observar exatamente k ocorrências em uma Poisson( \lambda) é dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
  • Para uma probabilidade de "pelo menos 4" usamos a complementar:
P(X\ge4)=1-\sum_{k=0}^{3}P(X=k).

Passo 3

Parte (a): calcular \lambda para uma amostra de \,26 picolitros quando a taxa é \,0{,}2.
  • \displaystyle \lambda = r\cdot V = 0{,}2\cdot 26 = 5{,}2.
Agora queremos \displaystyle P(X\ge4) com X\sim\text{Poisson}(5{,}2), então
P(X\ge4)=1-\sum_{k=0}^{3} e^{-5{,}2}\frac{5{,}2^{k}}{k!}.

Passo 4

Calcular termo a termo (mostrando as contas para fazer “na prova” sem pular passos).
  • Primeiro o fator comum e^{-5{,}2}. Numericamente \displaystyle e^{-5{,}2}\approx 0{,}0055166 (usei a propriedade e^{-5{,}2}=e^{-5}\,e^{-0{,}2}).
  • P(X=0)=e^{-5{,}2}\frac{5{,}2^{0}}{0!}=e^{-5{,}2}\approx 0{,}0055166.
  • P(X=1)=e^{-5{,}2}\frac{5{,}2^{1}}{1!}=e^{-5{,}2}\cdot 5{,}2\approx 0{,}0286861.
    (ou usar P_1=P_0\cdot 5{,}2.)
  • P(X=2)=e^{-5{,}2}\frac{5{,}2^{2}}{2!}=P(X=1)\cdot\frac{5{,}2}{2}\approx 0{,}0746840.
  • P(X=3)=e^{-5{,}2}\frac{5{,}2^{3}}{3!}=P(X=2)\cdot\frac{5{,}2}{3}\approx 0{,}1294523.
Somando os quatro termos:
\sum_{k=0}^{3}P(X=k)\approx 0{,}0055166+0{,}0286861+0{,}0746840+0{,}1294523\approx 0{,}2383390.
Portanto
P(X\ge4)=1-0{,}2383390\approx 0{,}7616610.

Passo 5

Interpretação e arredondamento para resposta prática.
  • A probabilidade pedida na (a) é aproximadamente \,0{,}7617 (76,17%). Isso significa que, para uma amostra de \,26 pL de uma pessoa suprida, é bastante provável observar 4 ou mais plaquetas.

Passo 6

Parte (b): número esperado de amostras até encontrar a primeira com \ge4 plaquetas.
  • Cada amostra de \,26 pL é um ensaio independente com probabilidade de “sucesso” (ter \ge4 plaquetas) igual a p=P(X\ge4) que calculamos na parte (a): p\approx 0{,}7616610.
  • O número de amostras N até o primeiro sucesso (contando a amostra que deu sucesso) segue a distribuição geométrica com parâmetro p. Para essa versão da geométrica vale
\mathbb{E}[N]=\frac{1}{p}.
  • Logo
\mathbb{E}[N]\approx \frac{1}{0{,}7616610}\approx 1{,}3139.
  • Interpretação: em média o biomédico terá que analisar cerca de 1{,}31 amostras — na prática isso significa que normalmente encontrará o sucesso já na primeira amostra; às vezes precisará de 2, raramente mais.

Passo 7

Parte (c): comparar qual hipótese é mais provável dado que foram observadas \,3 plaquetas em \,20 pL.
  • Primeiro calculemos os parâmetros \lambda sob cada hipótese (pegando volumes do enunciado):
    • Se a pessoa for suprida: \lambda_{\text{suprida}}=0{,}2\cdot 20=4.
    • Se a pessoa não for suprida: \lambda_{\text{não}}=0{,}1\cdot 20=2.ã
  • Calculemos as verossimilhanças (probabilidades de observar exatamente 3 plaquetas) em cada caso:
    • Para \lambda=4:
    P(X=3\mid\lambda=4)=e^{-4}\frac{4^{3}}{3!}=e^{-4}\frac{64}{6}\approx 0{,}1953668.
    • Para \lambda=2:
    P(X=3\mid\lambda=2)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=e^{-2}\frac{8}{6}\approx 0{,}1804470.
  • Comparando: 0{,}1954>0{,}1804. Assim, observar exatamente 3 plaquetas em 20 pL é ligeiramente mais provável se a pessoa for suprida de vitamina B12 do que se não for.
  • Observação sobre interpretação: isso é uma comparação de verossimilhanças (likelihoods). Se, antes do exame, as duas hipóteses fossem igualmente prováveis (prior igual), então a posterior (após ver os dados) favorecerá a hipótese “suprida”. A evidência, porém, é fraca — as probabilidades são bem próximas (relação de verossimilhanças cerca de 1{,}08).

Resposta

(a) \approx 0{,}7617.
(b) \approx 1{,}3139 amostras (esperança).
(c) Mais provável que a pessoa esteja suprida de vitamina B12; pois P(X=3\mid\text{suprida})\approx 0{,}1954 é maior do que P(X=3\mid\text{não suprida})\approx 0{,}1804ã.

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