(prova 2-2025.1) (2,0) Uma fábrica produz barras de chocolate cujo peso, em gramas, é uma variável aleatória X com média \mu=100 \mathrm{~g} e desvio padrão \sigma=5 \mathrm{~g}. Sabe-se que o peso de uma barra individual segue uma distribuição desconhecida, mas os pesos são independentes entre si.
(a) (1,0) Suponha que uma amostra aleatória de n=36 barras seja coletada. Qual é a probabilidade de que a média amostral do peso esteja entre 98 g e 102 g ?
(b) (1,0) Qual deve ser o tamanho da amostra n para que a probabilidade de a média amostral estar entre 98 g e 102 g seja pelo menos 99 \% ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
A variável aleatória do peso de uma barra é X com média \mu=100 g e desvio padrão \sigma=5 g.
Os pesos são independentes.
A distribuição de X é desconhecida (não necessariamente normal).
Perguntas:
(a) Para n=36, qual é a probabilidade de a média amostral \overline{X} estar entre 98 g e 102 g?
(b) Qual deve ser o tamanho da amostra n para que a probabilidade de \overline{X} estar entre 98 g e 102 g seja pelo menos 99\%?
Passo 2
Ideia / método (explicação da ferramenta que vamos usar).
Quando tomamos uma amostra aleatória de tamanho n de variáveis independentes com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} tem:
Mesmo quando a distribuição individual de X é desconhecida, o Teorema Central do Limite (TCL) diz que, para n suficientemente grande, a distribuição de \overline{X} é aproximadamente normal: \overline{X}\\ \dot\sim\\ \mathcal{N}\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Assim, para calcular probabilidades sobre \overline{X} vamos padronizar:Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},onde Z é aproximadamente uma variável normal padrão \mathcal{N}(0,1).
Aqui: \mu é a média verdadeira do processo (em gramas), \sigma é o desvio padrão verdadeiro (em gramas), n é o tamanho da amostra, e \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média.
Passo 3
Resolvendo (a): calcular P(98<\overline{X}<102) para n=36.
Interpretação curta: com n=36 a média amostral tem pequena variação (erro padrão \approx0{,}8333 g), então é bastante provável que a média caia dentro de \pm2 g de \mu: cerca de 98{,}36\%.
Passo 4
Resolvendo (b): achar n tal que P(98<\overline{X}<102)\ge0{,}99.
Sejam z^* tal que P(|Z|<z^*)=0{,}99. Então \Phi(z^*)=0{,}995 (porque a probabilidade central 0{,}99 deixa 0{,}005 em cada cauda, então a área à esquerda de z^* é 0{,}995). O valor crítico é aproximadamente
Como n deve ser inteiro e queremos garantir pelo menos 0{,}99, escolhemos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, ou seja n=42. (Arredondamento para cima: se usar n=41 a probabilidade seria um pouco menor que 99\%.)