(prova 2-2025.1) (2,0) Uma fábrica produz barras de chocolate cujo peso, em gramas, é uma variável aleatória X com média \mu=100 \mathrm{~g} e desvio padrão \sigma=5 \mathrm{~g}. Sabe-se que o peso de uma barra individual segue uma distribuição desconhecida, mas os pesos são independentes entre si.
(a) (1,0) Suponha que uma amostra aleatória de n=36 barras seja coletada. Qual é a probabilidade de que a média amostral do peso esteja entre 98 g e 102 g ?
(b) (1,0) Qual deve ser o tamanho da amostra n para que a probabilidade de a média amostral estar entre 98 g e 102 g seja pelo menos 99 \% ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • A variável aleatória do peso de uma barra é X com média \mu=100 g e desvio padrão \sigma=5 g.
    • Os pesos são independentes.
    • A distribuição de X é desconhecida (não necessariamente normal).
  • Perguntas:
    • (a) Para n=36, qual é a probabilidade de a média amostral \overline{X} estar entre 98 g e 102 g?
    • (b) Qual deve ser o tamanho da amostra n para que a probabilidade de \overline{X} estar entre 98 g e 102 g seja pelo menos 99\%?

Passo 2

Ideia / método (explicação da ferramenta que vamos usar).
  • Quando tomamos uma amostra aleatória de tamanho n de variáveis independentes com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} tem:
    • esperança \mathbb{E}(\overline{X})=\mu,
    • desvio padrão (erro padrão) \mathrm{sd}(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Mesmo quando a distribuição individual de X é desconhecida, o Teorema Central do Limite (TCL) diz que, para n suficientemente grande, a distribuição de \overline{X} é aproximadamente normal: \overline{X}\\ \dot\sim\\ \mathcal{N}\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
  • Assim, para calcular probabilidades sobre \overline{X} vamos padronizar: Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},onde Z é aproximadamente uma variável normal padrão \mathcal{N}(0,1).
  • Aqui: \mu é a média verdadeira do processo (em gramas), \sigma é o desvio padrão verdadeiro (em gramas), n é o tamanho da amostra, e \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média.

Passo 3

Resolvendo (a): calcular P(98<\overline{X}<102) para n=36.
  • Primeiro calcule o erro padrão:
    \mathrm{sd}(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}.
    Numericamente \dfrac{5}{6}\approx0,8333 g.
  • Padronizo os limites com Z:
    z_{\text{baixo}}=\frac{98-100}{5/6}=\frac{-2}{5/6}=-2{,}4, \qquad z_{\text{alto}}=\frac{102-100}{5/6}=\frac{2}{5/6}=2{,}4.
  • A probabilidade procurada é
    P(98<\overline{X}<102)=P(-2{,}4<Z<2{,}4)=\Phi(2{,}4)-\Phi(-2{,}4)=2\Phi(2{,}4)-1,
    onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando tabela/valor conhecido \Phi(2{,}4)\approx0{,}9918, obtemos
    P(98<\overline{X}<102)\approx2\times0{,}9918-1=0{,}9836.
  • Interpretação curta: com n=36 a média amostral tem pequena variação (erro padrão \approx0{,}8333 g), então é bastante provável que a média caia dentro de \pm2 g de \mu: cerca de 98{,}36\%.

Passo 4

Resolvendo (b): achar n tal que P(98<\overline{X}<102)\ge0{,}99.
  • Queremos
    P\big(|\overline{X}-\mu|<2\big)\ge0{,}99.
    Padronizando:
    P\left(|Z|<\frac{2}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\ge0{,}99.
  • Sejam z^* tal que P(|Z|<z^*)=0{,}99. Então \Phi(z^*)=0{,}995 (porque a probabilidade central 0{,}99 deixa 0{,}005 em cada cauda, então a área à esquerda de z^* é 0{,}995). O valor crítico é aproximadamente
    z^*=\Phi^{-1}(0{,}995)\approx2{,}5758.
  • Portanto devemos ter
    \frac{2}{\sigma/\sqrt{n}}\ge z^* \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{5/\sqrt{n}}\ge z^* \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n}\ge\frac{5z^*}{2}.
  • Calculando numericamente:
    \frac{5z^*}{2}=\frac{5\times2{,}5758}{2}=6{,}4395\quad(\text{aprox.}),
    então
    n\ge(6{,}4395)^2\approx41{,}47.
  • Como n deve ser inteiro e queremos garantir pelo menos 0{,}99, escolhemos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, ou seja n=42. (Arredondamento para cima: se usar n=41 a probabilidade seria um pouco menor que 99\%.)

Resposta

(a) P(98<\overline{X}<102)\approx0{,}9836
(b) n=42

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