Para os pares de eventos cujas coordenadas (t, x, y, z) num dado referencial são dadas abaixo, classifique seus intervalos como do tipo tempo, tipo espaço e do tipo luz ou nulo.
(0,0,0,0) e (-1,1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá duas eventos no mesmo referencial com coordenadas:
  • Evento A: (t_A,x_A,y_A,z_A)=(0,0,0,0).
  • Evento B: (t_B,x_B,y_B,z_B)=(-1,1,0,0).
A pergunta é: classificar o intervalo entre esses dois eventos como sendo do tipo tempo, do tipo espaço ou do tipo luz (nulo). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido sem começar a resolver ainda:
  • Dados: as coordenadas temporais e espaciais dos dois eventos (veja acima).
  • Pedido: determinar se o intervalo é temporallike, spacelike ou lightlike (nulo).

Passo 2

Explico a fórmula que usamos para classificar intervalos (passo-a-passo e sem pular etapas).
Em relatividade plana (espaço de Minkowski) define-se o quadrado do intervalo entre dois eventos como
\Delta s^{2} = -c^{2}(\Delta t)^{2} + (\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2} + (\Delta z)^{2},
onde:
  • \Delta t = t_B - t_A é a diferença temporal entre os eventos (unidades de tempo),
  • \Delta x = x_B - x_A, \Delta y = y_B - y_A, \Delta z = z_B - z_A são as diferenças espaciais (unidades de comprimento),
  • c é a velocidade da luz (unidade de comprimento por unidade de tempo).
Explicação do que significam os sinais e a classificação:
  • Se \Delta s^{2} < 0 chamamos o intervalo de “do tipo tempo” (timelike): existe uma base de referencia onde os eventos ocorrem no mesmo ponto espacial e podem ser ligados por uma partícula com velocidade menor que c.
  • Se \Delta s^{2} > 0 chamamos de “do tipo espaço” (spacelike): não é possível causalmente ligar os eventos (seriam separados por distância maior do que a luz poderia percorrer).
  • Se \Delta s^{2} = 0 chamamos de “do tipo luz” ou “nulo” (lightlike/null): os eventos podem ser ligados por um sinal que viaja exatamente à velocidade c.
Para simplificar os cálculos é comum usar unidades naturais onde c=1. Vou trabalhar com c=1 (isso apenas reduz a escrita; o resultado físico não muda).

Passo 3

Calculo as diferenças de coordenadas entre os dois eventos (mostrando cada operação):
\Delta t = t_B - t_A = -1 - 0 = -1.
\Delta x = x_B - x_A = 1 - 0 = 1.
\Delta y = y_B - y_A = 0 - 0 = 0.
\Delta z = z_B - z_A = 0 - 0 = 0.

Passo 4

Plugando esses valores na fórmula do intervalo com c=1:
\Delta s^{2} = -(\Delta t)^{2} + (\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2} + (\Delta z)^{2}.
Substituindo números:
\Delta s^{2} = -(-1)^{2} + 1^{2} + 0^{2} + 0^{2}.
Faço as contas passo a passo:
(-1)^{2} = 1,\qquad 1^{2} = 1,
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\Delta s^{2} = -1 + 1 = 0.

Passo 5

Classificação com base no valor encontrado:
  • Como \Delta s^{2}=0, o intervalo é do tipo luz (nulo), ou seja, lightlike/null.
Interpretação física breve e intuitiva (didática): aqui |\Delta x|=1 e |\Delta t|=1 e, com c=1, a condição para ligação por um sinal luminoso é |\Delta x|=c\,|\Delta t|. Portanto esses dois eventos podem ser ligados por um raio de luz (por exemplo, um fóton que parte no evento B em t=-1,x=1 e chega no evento A em t=0,x=0 viajando na direção negativa de x). O sinal de \Delta t apenas indica a ordem temporal (aqui t_B<t_A).

Resposta

Intervalo do tipo luz (nulo)

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