3^{\underline{a}} Questão:(2.0 pontos) Resolva o problema de valor inicial utilizando a
\text { (P.V.I) }\left\{\begin{array}{l} \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+y(t)=g(t) \\ y(0)=0 ; \frac{d y}{d t}(0)=1 \end{array} \text { onde } g(t)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & 0<t<\frac{\pi}{2} \\ 0, & t \geq \frac{\pi}{2} \end{array}\right.\right.

Passo 1

O problema é um P.V.I. de 2ª ordem com forçamento em degrau:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + y = g(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=1,
onde
g(t)= \begin{cases} 1, & 0<t<\tfrac{\pi}{2},\\\\ 0, & t\ge \tfrac{\pi}{2}. \end{cases}
O método será:
  1. resolver para 0\le t<\tfrac{\pi}{2} (equação não homogênea),
  2. calcular y e y' em t=\tfrac{\pi}{2},
  3. resolver para t\ge \tfrac{\pi}{2} (equação homogênea) com condições de contorno no ponto de quebra.

Passo 2

Para 0\le t<\tfrac{\pi}{2} temos
y''+y=1.
Uma solução particular constante é
y_{p}=1,
pois 0+1=1. A solução geral é
y_{1}(t)=A\sin t + B\cos t +1.
Usando as C.C. em t=0:
y_{1}(0)=B+1=0\implies B=-1,
y_{1}'(t)=A\cos t -B\sin t,\quad y_{1}'(0)=A=1\implies A=1.
Logo, para 0\le t<\tfrac{\pi}{2},
y_{1}(t)=\sin t -\cos t +1.

Passo 3

Calculamos em t_{0}=\tfrac{\pi}{2}:
y_{1}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\tfrac{\pi}{2}-\cos\tfrac{\pi}{2}+1=1-0+1=2,
y_{1}'(t)=\cos t +\sin t\quad\Longrightarrow\quad y_{1}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0+1=1.
Estas serão as condições iniciais para a segunda fase.

Passo 4

Para t\ge \tfrac{\pi}{2} o forçamento é zero, resta
y''+y=0,\quad y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2,\;y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
A solução geral é
y_{2}(t)=C\cos t +D\sin t.
Em t=\tfrac{\pi}{2} vale
y_{2}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=C\cdot0 +D\cdot1 =2\implies D=2,
y_{2}'(t)=-C\sin t +D\cos t\quad\Longrightarrow\quad y_{2}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-C\cdot1+2\cdot0=1\implies C=-1.
Então, para t\ge \tfrac{\pi}{2},
y_{2}(t)=-\cos t +2\sin t.

Resposta

y(t)= \begin{cases} \sin t -\cos t +1, & 0\le t<\tfrac{\pi}{2},\\\\ -\cos t +2\sin t, & t\ge \tfrac{\pi}{2}. \end{cases}

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