Questāo 1 (30 pontos) Obtenha uma solução geral da equaçāo diferencial (1) usando o método de solução por séries de potências. Considere o valor central da série como sendo igual a zero. Não é necessário apresentar a solução na forma compacta. No entanto, devem ser apresentados, ao menos, os quatro primeiros termos não-nulos da solução.
y^{\prime}(t)+2 \cdot\left(t^{2}+t\right) \cdot y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em zero, a equação diferencial de primeira ordem
y'(t) + 2\bigl(t^2 + t\bigr)\,y(t) = 0,
obtendo a solução geral em série e exibindo, pelo menos, os quatro primeiros termos não-nulos. O método consiste em assumir
y(t) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\,t^n,
determinar a recorrência para os coeficientes a_n e, em seguida, calcular os termos iniciais.

Passo 2

Assumimos
y(t) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\,t^n \quad\text{e}\quad y'(t) = \sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,t^{n-1}.

Passo 3

Substituindo na equação:
\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,t^{n-1} +2\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,t^{n+2} +2\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,t^{n+1} =0.
Reindexando para potências t^m, obtemos
\sum_{m=0}^{\infty} \Bigl((m+1)a_{m+1}+2\,a_{m-1}+2\,a_{m-2}\Bigr)\,t^m =0,
onde a_{-1}=a_{-2}=0. Logo a recorrência é
(m+1)\,a_{m+1} + 2\,a_{m-1} + 2\,a_{m-2} = 0, \quad m\ge0.

Passo 4

Tomando a_0 arbitrário e a_{-1}=a_{-2}=0, calculamos:
  • Para m=0:
    (0+1)a_1 +2a_{-1}+2a_{-2}=0 \implies a_1=0.
  • Para m=1:
    2a_2 +2a_0=0 \implies a_2=-a_0.
  • Para m=2:
    3a_3 +2a_1+2a_0=0 \implies a_3=-\tfrac{2}{3}a_0.
  • Para m=3:
    4a_4 +2a_2+2a_1=0 \implies 4a_4-2a_0=0 \implies a_4=\tfrac12a_0.
Assim, os quatro primeiros termos não-nulos são os de ordem 0,2,3,4.

Passo 5

Escrevendo a constante a_0=C, a solução geral em série fica
y(t) = C\Bigl(1 - t^2 - \tfrac{2}{3}t^3 + \tfrac12 t^4 + \cdots\Bigr).

Resposta

A solução geral em série centrada em zero é
y(t) = C\Bigl(1 - t^2 - \tfrac23 t^3 + \tfrac12 t^4 + \dots\Bigr),
onde C é a constante arbitrária, e os quatro primeiros termos não-nulos da expansão são
1,\;-t^2,\;-{\tfrac{2}{3}}t^3,\;{\tfrac12}t^4.

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