Questāo 1 (30 pontos) Obtenha uma solução geral da equaçāo diferencial (1) usando o método de solução por séries de potências. Considere o valor central da série como sendo igual a zero. Não é necessário apresentar a solução na forma compacta. No entanto, devem ser apresentados, ao menos, os quatro primeiros termos não-nulos da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em zero, a equação diferencial de primeira ordem
obtendo a solução geral em série e exibindo, pelo menos, os quatro primeiros termos não-nulos. O método consiste em assumir
determinar a recorrência para os coeficientes
e, em seguida, calcular os termos iniciais.
Passo 2
Assumimos
Passo 3
Substituindo na equação:
Reindexando para potências
, obtemos
onde
. Logo a recorrência é
Passo 4
Tomando
arbitrário e
, calculamos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim, os quatro primeiros termos não-nulos são os de ordem
.
Passo 5
Escrevendo a constante
, a solução geral em série fica
Resposta
A solução geral em série centrada em zero é
onde
é a constante arbitrária, e os quatro primeiros termos não-nulos da expansão são
.