Questão 2 (20 pontos): Considere a EDP (2). Utilize o método da separação de variáveis para encontrar a solução geral para a equação abaixo, considerando a constante de separação como sendo negativa.
\frac{\partial y^{2}(\alpha, \beta)}{\partial \alpha^{2}}+4 \cdot \beta^{2} \cdot \frac{\partial y(\alpha, \beta)}{\partial \beta}=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDP
\frac{\partial^{2}y(\alpha,\beta)}{\partial \alpha^{2}} +4\,\beta^{2}\,\frac{\partial y(\alpha,\beta)}{\partial \beta} =0
e pede a solução geral pelo método da separação de variáveis, assumindo que a constante de separação é negativa. Vamos precisar:
  1. Supor y(\alpha,\beta)=X(\alpha)\,Z(\beta).
  2. Separar variáveis e introduzir uma constante de separação -\lambda com \lambda>0.
  3. Resolver as EDOs resultantes em \alpha e \beta.

Passo 2

Suponha
y(\alpha,\beta)=X(\alpha)\,Z(\beta).
Então
\frac{\partial^{2}y}{\partial \alpha^{2}} = X''(\alpha)\,Z(\beta), \quad \frac{\partial y}{\partial \beta} = X(\alpha)\,Z'(\beta).
Substituindo na EDP e dividindo por X\,Z, obtemos
\frac{X''(\alpha)}{X(\alpha)} +4\,\beta^{2}\,\frac{Z'(\beta)}{Z(\beta)} =0.

Passo 3

Como o primeiro termo depende só de \alpha e o segundo só de \beta, eles devem ser constantes opostas. Escolhemos a constante de separação negativa:
\frac{X''(\alpha)}{X(\alpha)}=-\lambda, \qquad 4\,\beta^{2}\,\frac{Z'(\beta)}{Z(\beta)}=+\lambda,
com \lambda>0.

Passo 4

A EDO para X fica
X''(\alpha)+\lambda\,X(\alpha)=0,
cuja solução geral é
X(\alpha)=A\cos\bigl(\sqrt{\lambda}\,\alpha\bigr) +B\sin\bigl(\sqrt{\lambda}\,\alpha\bigr),
onde A e B são constantes.

Passo 5

A EDO para Z é
\frac{Z'(\beta)}{Z(\beta)} =\frac{\lambda}{4\,\beta^{2}}.
Integrando em \beta:
\ln Z(\beta) =\int \frac{\lambda}{4\,\beta^{2}}\,d\beta =-\frac{\lambda}{4\,\beta}+C,
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Z(\beta) =C_{1}\,\exp\!\Bigl(-\frac{\lambda}{4\,\beta}\Bigr),
com C_{1}=e^{C}.

Passo 6

Multiplicando X e Z, obtemos a família de soluções separadas
y(\alpha,\beta) =\bigl[A\cos(\sqrt{\lambda}\,\alpha)+B\sin(\sqrt{\lambda}\,\alpha)\bigr] \exp\!\Bigl(-\frac{\lambda}{4\,\beta}\Bigr).
Como não há condições de contorno dadas, a solução geral é a superposição (ou integral) dessas famílias para \lambda>0.

Resposta

A solução geral separada (para cada \lambda>0) é
y(\alpha,\beta) =\bigl[A\cos(\sqrt{\lambda}\,\alpha)+B\sin(\sqrt{\lambda}\,\alpha)\bigr] \exp\!\Bigl(-\frac{\lambda}{4\,\beta}\Bigr),
e a forma superposta é
y(\alpha,\beta) =\int_{0}^{\infty}\Bigl[ F(\lambda)\cos(\sqrt{\lambda}\,\alpha) +G(\lambda)\sin(\sqrt{\lambda}\,\alpha) \Bigr] \exp\!\Bigl(-\frac{\lambda}{4\,\beta}\Bigr) \,d\lambda,
onde F e G são funções arbitrárias que se determinam pelas condições de contorno.

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