Questão 2 (20 pontos): Considere a EDP (2). Utilize o método da separação de variáveis para encontrar a solução geral para a equação abaixo, considerando a constante de separação como sendo negativa.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDP
e pede a solução geral pelo método da separação de variáveis, assumindo que a constante de separação é negativa. Vamos precisar:
- Supor
. - Separar variáveis e introduzir uma constante de separação
com . - Resolver as EDOs resultantes em
e .
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo na EDP e dividindo por
, obtemos
Passo 3
Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
, eles devem ser constantes opostas. Escolhemos a constante de separação negativa:
com
.
Passo 4
A EDO para
fica
cuja solução geral é
onde
e
são constantes.
Passo 5
A EDO para
é
Integrando em
:
logo
com
.
Passo 6
Multiplicando
e
, obtemos a família de soluções separadas
Como não há condições de contorno dadas, a solução geral é a superposição (ou integral) dessas famílias para
.
Resposta
A solução geral separada (para cada
) é
e a forma superposta é
onde
e
são funções arbitrárias que se determinam pelas condições de contorno.