20a Questão: Determinar as trajetórias que são ortogonais à família das cardioides
R=a(1+cos theta)
Obs: caso precise, use integral csc theta d theta=Ln|csc theta-cot theta|

Passo 1

O enunciado dá a família de cardioides em coordenadas polares
r = a,(1+costheta),
com parâmetro a, e pede as trajetórias ortogonais. Para isso faremos:
  1. Encontrar a equação diferencial que relaciona r e theta para essa família.
  2. Usar a condição de ortogonalidade em coordenadas polares, que em termos de derivadas dr/dtheta no plano (theta,r) é
l(dr/dthetar)perp = -1(dr/dtheta)família í
  1. Integrar a equação resultante e obter a família de curvas solução.

Passo 2

Começamos encontrando dr/dtheta para a família dada. Como a é constante,
r = a,(1+costheta) Longrightarrow drdtheta = -asintheta
Mas de r = a(1+costheta) temos a = dfracr1+costheta. Substituindo em drdtheta,
drdtheta = -r1+costheta,sintheta = -,r,sintheta1+costheta

Passo 3

A condição de ortogonalidade no plano (theta,r) é
l(dr/dthetar)perp = -1(dr/dtheta)família = -1-dfracrsintheta1+costheta = 1+costhetar,sintheta í
Logo a equação diferencial das ortotrajetórias é
drdtheta = 1+costhetar,sintheta

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
r,dr = 1+costhetasintheta,dtheta
Note que
1+costhetasintheta = cot!l(tfractheta2r)
pois 1+costheta=2cos^2(theta/2) e sintheta=2sin(theta/2)cos(theta/2). Então
integral r,dr = integral cot!l(tfractheta2r),dtheta
Tomando u=theta/2 ( dtheta=2,du),
r^22 = 2integral cot u,du = 2lnl|sin ur| + C = 2lnl|sin(tfractheta2)r| + C
Multiplicando por 2,
r^2 = 4,lnl|sin(tfractheta2)r| + C'

Resposta

A família das trajetórias ortogonais é dada implicitamente por
r^2 - 4,lnl|sin(tfractheta2)r| = constante

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