Questão: Determinar as trajetórias que são ortogonais à família das cardioides R=a(1+cos theta)
Obs: caso precise, use integral csc theta d theta=Ln|csc theta-cot theta|
Passo 1
O enunciado dá a família de cardioides em coordenadas polares
r = a,(1+costheta),
com parâmetro a, e pede as trajetórias ortogonais. Para isso faremos:
Encontrar a equação diferencial que relaciona r e theta para essa família.
Usar a condição de ortogonalidade em coordenadas polares, que em termos de derivadas dr/dtheta no plano (theta,r) é
l(dr/dthetar)perp = -1(dr/dtheta)família í
Integrar a equação resultante e obter a família de curvas solução.
Passo 2
Começamos encontrando dr/dtheta para a família dada. Como a é constante,
r = a,(1+costheta) Longrightarrow drdtheta = -asintheta
Mas de r = a(1+costheta) temos a = dfracr1+costheta. Substituindo em drdtheta,