Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando escalonamento:
lx+y+z+t=2 x-y-2 z-3 t=5 2 x+y+-3 z+t=-9 3 x-y-z+t=-6)

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,t e quatro equações, e pede para resolver por escalonamento (eliminação de Gauss). Para isso vamos montar a matriz aumentada, escolher pivôs e aplicar operações elementares de linha até obter um sistema triangular, depois usar substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 2 1 & -1 & -2 & -3 & 5 2 & 1 & -3 & 1 & -9 3 & -1 & -1 & 1 & -6 ]
Tomamos a11=1 como pivô e zeramos os outros elementos da coluna 1 usando
L2 L2 - L1, L3 L3 - 2L1, L4 L4 - 3L1
Isso produz:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & -2 & -3 & -4 & 3 0 & -1 & -5 & -1 & -13 0 & -4 & -4 & -2 & -12 ]

Passo 3

Agora o pivô é a22=-2 na segunda linha. Zeramos abaixo dele aplicando
L3 L3 - -1-2,L2 = L3 - tfrac12 L2, L4 L4 - -4-2,L2 = L4 - 2L2
Fica:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & -2 & -3 & -4 & 3 0 & 0 & -tfrac72 & 1 & -tfrac292 0 & 0 & 2 & 6 & -18 ]

Passo 4

O pivô da terceira linha é a33=-tfrac72. Primeiro normalizamos essa linha multiplicando por -tfrac27, obtendo pivô 1, e em seguida zeramos a entrada em a43 com L4 L4 - 2L3. O resultado é
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & -2 & -3 & -4 & 3 0 & 0 & 1 & -tfrac27 & tfrac297 0 & 0 & 0 & tfrac467 & -tfrac1847 ]
Por fim normalizamos a quarta linha, multiplicando por tfrac746, de modo que o pivô em a44 fique 1:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & -2 & -3 & -4 & 3 0 & 0 & 1 & -tfrac27 & tfrac297 0 & 0 & 0 & 1 & -4 ]

Passo 5

Agora temos o sistema triangular:
t = -4, z - tfrac27,t = tfrac297, -2y -3z -4t = 3, x + y + z + t = 2
Substituindo de baixo para cima:
t = -4, z - tfrac27cdot(-4)=tfrac297;Rightarrow;z=3,
-2y -3cdot3 -4cdot(-4)=3;Rightarrow;-2y -9 +16=3;Rightarrow;y=2,
x + 2 + 3 -4 =2;Rightarrow;x=1

Resposta

x = 1, y = 2, z = 3, t = -4

Exercícios relacionados