Calcule a derivada das funções a seguir.
y=sen(cos (tan theta)).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos derivar a função y=sin(cos(tantheta)). O conteúdo principal é a regra da cadeia, aplicando derivadas de funções trigonométricas compostas.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, definimos as funções intermediárias:
u=tantheta, v=cos(u), y=sin(v)
Dessa forma vamos calcular dudtheta, dvdu e dydv.

Passo 3

Derivada de u=tantheta:
dudtheta=sec^2theta
Aqui usamos que (tan x)'=sec^2 x.

Passo 4

Derivada de v=cos(u) em relação a u:
dvdu=-sin(u)
Porque (cos x)'=-sin x.

Passo 5

Derivada de y=sin(v) em relação a v:
dydv=cos(v)
Pois (sin x)'=cos x.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
dydtheta=dydvcdotdvducdotdudtheta =cos(v)cdot(-sin(u))cdotsec^2theta
Agora substituímos u=tantheta e v=cos(tantheta).

Resposta

-cosl(cos(tantheta)r),sin(tantheta),sec^2theta

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