Determinar o volume da região no espaço limitada acima pelo gráfico da função f(x, y)=2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6} e abaixo pelo retângulo R=[0,1] \times[0,1].
Passo 1
O enunciado pede o volume da região do espaço que está acima do retângulo R=[0,1]\times[0,1] no plano xy e abaixo da superfície dada por
f(x,y)=2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}.
Informações fornecidas:
A função f(x,y) é dada por \;f(x,y)=2-\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{6}\;.
A base (projeção no plano xy) é o retângulo R=[0,1]\times[0,1].
A pergunta é: determinar o volume dessa região no espaço (volume entre a superfície e a base R).
Passo 2
Ideia e justificativa do método (explicação didática):
Quando se quer o volume de uma região que fica “em cima” de uma região R no plano xy e “embaixo” de uma superfície z=f(x,y) que é não negativa sobre R, o volume é dado pela integral dupla de f sobre R.
Em símbolos: o volume V é
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA,
onde dA representa um elemento infinitesimal de área no plano xy. Isso vem da ideia de aproximar a região por prismas verticais de base pequena dA e altura f(x,y), e somar esses volumes.
Como R é um retângulo simples, podemos aplicar o Teorema de Fubini e calcular a integral iterada (integrando em y e depois em x, ou vice-versa). A integral é bem definida porque f é contínua em R.