Determinar o volume da região no espaço limitada acima pelo gráfico da função f(x, y)=2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6} e abaixo pelo retângulo R=[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o volume da região do espaço que está acima do retângulo R=[0,1]\times[0,1] no plano xy e abaixo da superfície dada por
f(x,y)=2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}.
Informações fornecidas:
  • A função f(x,y) é dada por \;f(x,y)=2-\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{6}\;.
  • A base (projeção no plano xy) é o retângulo R=[0,1]\times[0,1].
  • A pergunta é: determinar o volume dessa região no espaço (volume entre a superfície e a base R).

Passo 2

Ideia e justificativa do método (explicação didática):
  • Quando se quer o volume de uma região que fica “em cima” de uma região R no plano xy e “embaixo” de uma superfície z=f(x,y) que é não negativa sobre R, o volume é dado pela integral dupla de f sobre R.
  • Em símbolos: o volume V é
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA,
onde dA representa um elemento infinitesimal de área no plano xy. Isso vem da ideia de aproximar a região por prismas verticais de base pequena dA e altura f(x,y), e somar esses volumes.
  • Como R é um retângulo simples, podemos aplicar o Teorema de Fubini e calcular a integral iterada (integrando em y e depois em x, ou vice-versa). A integral é bem definida porque f é contínua em R.

Passo 3

Montagem da integral iterada:
V=\iint_{R}\left(2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}\right)dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\left(2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}\right)dy\,dx.
Observação: usei a ordem dy\,dx. A integranda é soma de termos em x e y; isso facilita separar ou integrar diretamente.

Passo 4

Integração interna em y (explicando cada passo):
  • Vamos integrar em y tratando x como constante.
  • Fórmulas usadas: a integral de uma constante c em y é cy; a integral de y^{2} é y^{3}/3.
    Calcule:
\int_{0}^{1}\left(2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}\right)dy = \int_{0}^{1}\left(2-\frac{x^{2}}{4}\right)dy - \frac{1}{6}\int_{0}^{1}y^{2}dy.
Agora cada parte:
\int_{0}^{1}\left(2-\frac{x^{2}}{4}\right)dy = \left(2-\frac{x^{2}}{4}\right)\cdot 1 = 2-\frac{x^{2}}{4},
pois 2-\dfrac{x^{2}}{4} é constante em y.
\int_{0}^{1}y^{2}dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}\left(2-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}\right)dy = 2-\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3} = 2-\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{18}.
Simplificando a constante:
2-\frac{1}{18}=\frac{36}{18}-\frac{1}{18}=\frac{35}{18},
logo a expressão para integrar em x fica
\frac{35}{18}-\frac{x^{2}}{4}.

Passo 5

Integração externa em x (passo a passo):
  • Agora integramos de 0 a 1 em x:
V=\int_{0}^{1}\left(\frac{35}{18}-\frac{x^{2}}{4}\right)dx = \frac{35}{18}\int_{0}^{1}dx - \frac{1}{4}\int_{0}^{1}x^{2}dx.
Calcule as partes:
\int_{0}^{1}dx = 1, \qquad \int_{0}^{1}x^{2}dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Portanto
V=\frac{35}{18}\cdot 1 - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{35}{18} - \frac{1}{12}.
Agora faça a subtração com denominador comum. Um denominador comum conveniente é 36:
\frac{35}{18}=\frac{70}{36}, \qquad \frac{1}{12}=\frac{3}{36},
então
V=\frac{70}{36}-\frac{3}{36}=\frac{67}{36}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • O valor \dfrac{67}{36} é positivo (aproximadamente 1{,}8611\ldots), o que faz sentido porque f(x,y) é maior que zero em todo o retângulo R.
  • As integrais usaram apenas antiderivadas polinomiais básicas e o Teorema de Fubini, procedimento padrão para volumes sob superfícies.

Resposta

\dfrac{67}{36}

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