[20pts] Use um dos tipos de função degrau e suas propriedades, para resolver o PVI:
ccc y^prime prime+y & = & k(t) y=y(t) & ; & y(0)=0, y^prime(0)=1
onde a função k(t) é dada por:
ccc 0 & ; & 0 <= t<3 pi 1 & ; & t >= 3 pi

Passo 1

Temos o PVI
y''+y = k(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde
k(t)= 0,&0<= t<3pi, 1,&t>=3pi
O conteúdo principal é usar a transformada de Laplace e a propriedade de descolamento (função degrau) para resolver.

Passo 2

Escrevemos k(t) usando a função degrau unitário ;u(t-a):
k(t)=u(t-3pi)

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em
;y''+y = u(t-3pi),
usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly=Y(s), obtemos
s^2Y(s)-1 + Y(s) ;=;e^-3pi ss,
ou seja
(s^2+1)Y(s)-1 = e^-3pi ss Longrightarrow Y(s)=1s^2+1 ;+;e^-3pi ss(s^2+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais em
1s(s^2+1). Procuramos A,B,C tais que
1s(s^2+1)=As+Bs+Cs^2+1
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, acha-se
A=1,;B=-1,;C=0 Longrightarrow 1s(s^2+1)=1s-ss^2+1

Passo 5

Invertemos cada termo:
  1. L^-1ltfrac1s^2+1r=sin t
  2. L^-1ltfrac1s-tfracss^2+1r =1-cos t
  3. Pela propriedade de descolamento,
    e^-3pi sF(s)long<=ftrightarrow u(t-3pi),f(t-3pi)
Somando,
y(t)=sin t ;+;u(t-3pi)l[,1-cosl(t-3pir)r]

Resposta

boxedy(t)=sin t ;+;u(t-3pi),l[,1-cos(t-3pi)r]

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