[20pts] Use um dos tipos de função degrau e suas propriedades, para resolver o PVI:
onde a função
é dada por:
Passo 1
Temos o PVI
onde
O conteúdo principal é usar a transformada de Laplace e a propriedade de descolamento (função degrau) para resolver.
Passo 2
Escrevemos
k(t) usando a função degrau unitário
;u(t-a) :
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em
;y''+y = u(t-3pi) ,
usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e
Ly=Y(s) , obtemos
usando
ou seja
Passo 4
Fazemos frações parciais em
1s(s^2+1) . Procuramos
A,B,C tais que
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, acha-se
Passo 5
Invertemos cada termo:
-
L^-1ltfrac1s^2+1r=sin t -
L^-1ltfrac1s-tfracss^2+1r =1-cos t - Pela propriedade de descolamento,
e^-3pi sF(s)long<=ftrightarrow u(t-3pi),f(t-3pi)
Somando,