Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime-y^prime+2 y=x e^x+4, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + 2y = x e^x + 4,
sujeita a y(0)=1 e y'(0)=1.
O método dos coeficientes indeterminados consiste em: (i) achar a solução geral yc da homogênea, (ii) propor um palpite yp para a não homogênea e determinar seus coeficientes, e (iii) usar as condições iniciais para fixar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
y'' - y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 - r + 2 = 0 Longrightarrow r = 1 pm raiz1 - 82 = 1 pm iraiz72
Logo a solução geral da homogênea é
yc(x) = e^x/2l(C1cosl(tfracraiz72xr) + C2sinl(tfracraiz72xr)r)

Passo 3

Agora achamos uma particular para o termo constante 4. Como a fonte é polinomial de grau zero, tentamos
yp1 = A,
onde A é constante. Substituindo em y''-y'+2y=4
0 - 0 + 2A = 4 Longrightarrow A = 2
Então
yp1(x) = 2

Passo 4

Para a parte x e^x propomos
yp2(x) = (a x + b)e^x,
pois r=1 não anula o polinômio característico. Calculamos
u(x)=ax+b, u'(x)=a, u''(x)=0,
e
yp2 = u e^x, yp2' = (u'+u)e^x, yp2'' = (u''+2u'+u)e^x
Logo
yp2'' - yp2' + 2yp2 = l(0+2a+u - (a+u) +2ur)e^x = (a + 2u)e^x = l(a + 2(ax+b)r)e^x = (2a x + (2b + a))e^x
Queremos isso igual a x e^x, logo
2a = 1, 2b + a = 0 Longrightarrow a = tfrac12, b = -tfrac14
Portanto
yp2(x) = l(tfrac12 x - tfrac14r)e^x

Passo 5

A solução geral é
y(x) = yc(x) + yp1(x) + yp2(x) = e^x/2l(C1cosl(tfracraiz72xr) + C2sinl(tfracraiz72xr)r) + 2 + l(tfrac12 x - tfrac14r)e^x
Usamos y(0)=1:
y(0) = C1 + 2 - tfrac14 = 1 Longrightarrow C1 = -tfrac34
Agora y'(x)=yc'(x)+yp2'(x) e
yc'(0) = C12 + raiz72C2, yp2'(0) = l(a + br)|a=1/2,b=-1/4 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14
Como y'(0)=1 temos
-tfrac34cdottfrac12 + tfracraiz72C2 + tfrac14 = 1 Longrightarrow -tfrac38 + tfracraiz72C2 + tfrac28 = 1 Longrightarrow -tfrac18 + tfracraiz72C2 = 1
tfracraiz72C2 = tfrac98 Longrightarrow C2 = 98cdot2raiz7 = 94raiz7

Resposta

boxed y(x) = e^x/2!l(-tfrac34cos!l(tfracraiz72xr) + tfrac94raiz7sin!l(tfracraiz72xr)r) + 2 + l(tfrac12 x - tfrac14r)e^x

Exercícios relacionados