integral x^2+x+1(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2+x+1l(x^2+1r)^2,dx
Trata-se de uma função racional cujo denominador é l(x^2+1r)^2. Uma estratégia eficiente é decompor o numerador de modo a obter uma parte 1x^2+1 — cuja integral é arctan(x) — e outra parte que possa ser resolvida por substituição simples.

Passo 2

Vamos escrever
x^2+x+1l(x^2+1r)^2 =x^2+1l(x^2+1r)^2+xl(x^2+1r)^2 =1x^2+1+xl(x^2+1r)^2
Dessa forma,
integral x^2+x+1l(x^2+1r)^2,dx =integral 1x^2+1,dx +integral xl(x^2+1r)^2,dx

Passo 3

Para
integral 1x^2+1,dx
usamos que a derivada de arctan(x) é 11+x^2. Logo,
integral 1x^2+1,dx = arctan(x)

Passo 4

Para
integral xl(x^2+1r)^2,dx
fazemos a substituição u = x^2+1, de modo que du = 2x,dx ou x,dx = tfrac12,du. Assim,
integral xl(x^2+1r)^2,dx =12 integral duu^2 =12l(-1ur) =-12u =-12l(x^2+1r)

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
integral x^2+x+1l(x^2+1r)^2,dx =arctan(x) -12l(x^2+1r) +C

Resposta

boxedarctan(x)-12l(x^2+1r)+C

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