Calcule o que se pede logo abaixo, justificando cada um dos passos de sua solução. [10pts] Resolva e^11 t * e^-5 t.
[10pts] Ache a transformada de Laplace de g(t)=t^4 cdot de<a(t-3). Para tanto use alguma propriedade conhecida da Delta de Dirac.

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos distintos: a convolução de ,e^11t com e^-5t e a transformada de Laplace de g(t)=t^4,de<a(t-3). Para isso vamos usar (1) a definição de convolução para funções causais e (2) a propriedade da Delta de Dirac na transformada de Laplace.

Passo 2

Definição de convolução para funções causais f e g:
(f*g)(t) ;=;integral0^t f(tau),g(t-tau),dtau
Aqui tomamos f(t)=e^11t e g(t)=e^-5t.

Passo 3

Substituindo na definição,
(f*g)(t) =integral0^t e^11tau,e^-5l(t-taur),dtau =integral0^t e^-5t,e^11tau+5tau,dtau =e^-5tintegral0^t e^16tau,dtau

Passo 4

Calculando a integral,
integral0^t e^16tau,dtau =l[tfrac116e^16taur]0^t =e^16t-116,
logo
(f*g)(t) =e^-5t,e^16t-116 =e^11t-e^-5t16

Passo 5

Para a transformada de Laplace usamos
Lg(t)(s) =integral0^inftyg(t),e^-st,dt
e a propriedade da Delta de Dirac:
integral0^infty f(t),de<a(t-a),e^-st,dt =f(a),e^-a s
Aqui f(t)=t^4 e a=3.

Passo 6

Aplicando diretamente,
Lt^4,de<a(t-3)(s) =3^4,e^-3s =81,e^-3s

Resposta

(a) (e^11t * e^-5t)(t) = dfrace^11t-e^-5t16
(b) Lt^4,de<a(t-3)(s) = 81,e^-3s

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