Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções abaixo:
f(t)=(t-9) u6(t)+e^-5 t h(t)
onde
H(s)=Lh(t)=1raizs^2+49
Para tanto explique cada um dos passos de como foi feito tal questão e as respostas sem justificativas serão consideradas erradas.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t) = (t-9),u6(t) ;+; e^-5t,h(t),
sabendo que
H(s)=Lh(t)=1raizs^2+49
Para resolver precisamos usar duas propriedades básicas da transformada de Laplace:
  1. a propriedade de deslocamento no tempo
Lg(t-a),ua(t)=e^-a s,G(s),
onde G(s)=Lg(t);
2. a propriedade de deslocamento no domínio s
Le^-a tg(t)=G(s+a)

Passo 2

Vamos tratar o primeiro termo
f1(t)=(t-9),u6(t)
Defina tau=t-6. Então t-9=(tau+6)-9=tau-3, e
f1(t)=(tau-3),u6(t)=g(tau),u6(t),
com g(tau)=tau-3. Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo,
Lf1(t) =e^-6s,Lg(tau) =e^-6s,l[Ltau-3,L1r]
Agora calculamos
Ltau=1s^2, L1=1s,
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Lf1(t) =e^-6sl(1s^2-3cdot1sr) =e^-6sl(1s^2-3sr)

Passo 3

Para o segundo termo
f2(t)=e^-5t,h(t),
usamos a propriedade de deslocamento no eixo s. Se
Lh(t)=H(s), então
Le^-5th(t)=H(s+5)
Como H(s)=1/raizs^2+49, temos
Lf2(t) =1raiz(s+5)^2+49

Passo 4

Agora somamos os resultados:
Lf(t) =Lf1(t)+Lf2(t) =e^-6sl(1s^2-3sr) +1raiz(s+5)^2+49

Resposta

boxed Lf(t) =e^-6sl(1s^2-3sr) +1raiz(s+5)^2+49

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